ABCD – пространственный четырехугольник. DA₁:A₁A = DB₁:B₁B = DC₁:C₁C. Доказать параллельность плоскостей ABC и A₁B₁C₁.

Решение:

Дано: ABCD – пространственный четырехугольник. \( DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B = DC_1 : C_1C \).

Доказать: плоскость ABC \( ∥ \) плоскость A₁B₁C₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим плоскость грани ADD₁C. В ней проведены отрезки AA₁, C₁C, DA₁, A₁A, DC₁, C₁C.
2. По условию \( DA_1 : A_1A = DC_1 : C_1C \). Это означает, что точка A₁ делит отрезок DA в некотором отношении, а точка C₁ делит отрезок DC в том же отношении.
3. По теореме о пропорциональных отрезках, если прямая, пересекающая стороны угла (в данном случае угла ∠ADC), отсекает на сторонах пропорциональные отрезки, то она параллельна отрезку, соединяющему точки на сторонах. Следовательно, отрезок A₁C₁ параллелен отрезку AC.
4. Аналогично, рассмотрим грань BCD. По условию \( DB_1 : B_1B = DC_1 : C_1C \). Точка B₁ делит отрезок DB, а точка C₁ делит отрезок DC в одном и том же отношении.
5. Следовательно, отрезок B₁C₁ параллелен отрезку BC.
6. Итак, мы имеем:
• Отрезок A₁C₁ лежит в плоскости A₁B₁C₁.
• Отрезок AC лежит в плоскости ABC.
• Так как \( A_1C_1 ∥ AC \), то и плоскости, содержащие эти параллельные отрезки, параллельны.
7. Аналогично:
• Отрезок B₁C₁ лежит в плоскости A₁B₁C₁.
• Отрезок BC лежит в плоскости ABC.
• Так как \( B_1C_1 ∥ BC \), то и плоскости, содержащие эти параллельные отрезки, параллельны.
8. Поскольку плоскость A₁B₁C₁ содержит две пересекающиеся прямые (A₁C₁ и B₁C₁), параллельные плоскости ABC, то по признаку параллельности плоскостей, плоскость A₁B₁C₁ параллельна плоскости ABC.

Что и требовалось доказать.