ABCD – трапеция, ∠A = 90°, CP ⊥ AD, РМ параллельна АС, АР = PD = 4, MD = 2,5. Найди периметр трапеции.

Решение:

Дана трапеция ABCD, где \( \angle A = 90^{\circ} \), \( CP \perp AD \). Также известно, что \( PM \parallel AC \), \( AP = PD = 4 \), \( MD = 2,5 \).

1. Найдём длину основания AD:

\( AD = AP + PD = 4 + 4 = 8 \).

2. Найдём длину отрезка CD:

Рассмотрим прямоугольный треугольник CPD. По теореме Пифагора:

\( CD^2 = CP^2 + PD^2 \)

Так как \( CP \perp AD \) и \( \angle A = 90^{\circ} \), то ABCD — прямоугольная трапеция. В этом случае \( CP = AB \).

По условию \( PM \parallel AC \) и \( P \) — середина \( AD \). Следовательно, \( M \) — середина \( CD \).

Поскольку \( M \) — середина \( CD \), то \( MD = MC = 2,5 \).

Следовательно, \( CD = MD + MC = 2,5 + 2,5 = 5 \).

3. Найдём длину боковой стороны AB (которая равна CP):

В прямоугольном треугольнике CPD, \( PD = 4 \) и \( CD = 5 \). Используем теорему Пифагора:

\( CP^2 = CD^2 - PD^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \)

\( CP = \sqrt{9} = 3 \).

Значит, \( AB = CP = 3 \).

4. Найдём длину основания BC:

Из того, что \( PM \parallel AC \) и \( P \) — середина \( AD \), а \( M \) — середина \( CD \), следует, что \( PM \) является средней линией треугольника ADC. Тогда \( PM = \frac{1}{2} AC \).

Сначала найдём \( AC \) в прямоугольном треугольнике ACD:

\( AC^2 = CP^2 + AP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)

\( AC = \sqrt{25} = 5 \).

Теперь найдём \( BC \). Так как \( CP \perp AD \) и \( AB \) — высота, то \( BC \) — другая боковая сторона. В прямоугольной трапеции \( ABCD \) проведём высоту \( CP \). Мы уже нашли \( AB=3 \) и \( CP=3 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( PCD \). \( PD=4 \), \( CD=5 \). \( CP=3 \).

Для нахождения \( BC \) рассмотрим параллелограмм \( ABCP \). Так как \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( CP \perp AD \), \( AB \perp AD \), то \( ABCP \) — прямоугольник. Следовательно, \( BC = AP = 4 \).

5. Вычислим периметр трапеции ABCD:

\( P = AB + BC + CD + AD \)

\( P = 3 + 4 + 5 + 8 = 20 \).

Ответ: 20