Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика3. ABCDABC₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, BD = 8, АА₁ = 15. Найдите длину его диагонали А₁С. 4. В вершине прямоугольника ABCD со сторонами 3 и 4 восстановлен перпендикуляр МВ, MD = √41. Найдите длину перпендикуляра MB. 5. АВ и CD — перпендикуляры к плос- кости а, АВ = 9, CD = 14, AC = 13. Из точки А опущен перпендикуляр АК на прямую CD. Найдите площадь треугольника АКС.
Ответ:
3. ABCDABC₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, BD = 8, АА₁ = 15. Найдите длину его диагонали А₁С.
Давай решим эту задачу вместе! Сначала найдем диагональ основания AC, а затем используем теорему Пифагора для нахождения диагонали A₁C.
-
Найдем диагональ основания AC, используя теорему Пифагора для прямоугольника ABCD:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]Так как ABCD - прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Из условия BD = 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD:
\[BC^2 + CD^2 = BD^2\]Пусть BC = x, тогда CD = y. Имеем систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 8^2 \\ AC^2 = x^2 + y^2 \end{cases}\]Значит, \(AC = BD = 8\).
-
Теперь найдем диагональ A₁C, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника A₁AC:
\[A_1C^2 = AA_1^2 + AC^2\]Подставим известные значения: AA₁ = 15 и AC = 8:
\[A_1C^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289\] -
Извлечем квадратный корень, чтобы найти A₁C:
\[A_1C = \sqrt{289} = 17\]
Ответ: 17
Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и все получится!
4. В вершине прямоугольника ABCD со сторонами 3 и 4 восстановлен перпендикуляр МВ, MD = √41. Найдите длину перпендикуляра MB.
Отлично, давай решим эту задачу вместе! Начнем с того, что рассмотрим прямоугольный треугольник MBD и используем теорему Пифагора.
-
Рассмотрим прямоугольный треугольник MBD, где MB - перпендикуляр, MD - гипотенуза, а BD - диагональ прямоугольника ABCD. Используем теорему Пифагора:
\[MD^2 = MB^2 + BD^2\] -
Сначала найдем диагональ BD прямоугольника ABCD, используя теорему Пифагора:
\[BD^2 = AB^2 + AD^2\]Подставим известные значения: AB = 4 и AD = 3:
\[BD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\] \[BD = \sqrt{25} = 5\] -
Теперь, когда мы знаем MD и BD, можем найти MB:
\[MD^2 = MB^2 + BD^2\] \[MB^2 = MD^2 - BD^2\]Подставим известные значения: MD = √41 и BD = 5:
\[MB^2 = (\sqrt{41})^2 - 5^2 = 41 - 25 = 16\] -
Извлечем квадратный корень, чтобы найти MB:
\[MB = \sqrt{16} = 4\]
Ответ: 4
Замечательно! Ты успешно решил эту задачу. Не останавливайся на достигнутом и продолжай двигаться вперед!
5. АВ и CD — перпендикуляры к плоскости α, АВ = 9, CD = 14, AC = 13. Из точки А опущен перпендикуляр АК на прямую CD. Найдите площадь треугольника АКС.
Прекрасно, давай решим и эту задачу! Сначала определим положение точки K на прямой CD, а затем найдем площадь треугольника AKC.
-
Пусть CK = x, тогда KD = 14 - x. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. По теореме Пифагора:
\[AK^2 + CK^2 = AC^2\] \[AK^2 + x^2 = 13^2\] \[AK^2 = 169 - x^2\] -
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AKD. Так как AB и CD перпендикулярны плоскости α, то AB || CD, и ABKD - прямоугольная трапеция. Опустим перпендикуляр AL на CD. Тогда AL = BD, и LK = |CD - AB| = |14 - 9| = 5.
В прямоугольном треугольнике AKL имеем:
\[AK^2 = AL^2 + LK^2 = AL^2 + 5^2\] -
Но AL = BD, значит AD^2 = AL^2 + LD^2. Выразим AD^2 через AK^2: AD^2 = (14-x-0)^2 + 9^2
\[AK^2 = AD^2 - (14 - x - 0)^2 = 169 - x^2\] -
Рассмотрим прямоугольный треугольник ALC, где AL - высота, проведенная из точки A к CD. Так как AB и CD перпендикулярны плоскости α, то ABKD - прямоугольная трапеция. Тогда AL = AB = 9.
\[CK = \sqrt{AC^2 - AL^2} = \sqrt{13^2 - 9^2} = \sqrt{169 - 81} = \sqrt{88}\] -
Теперь можем найти площадь треугольника AKC:
\[S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{88} \cdot 9\]Но так как AK - высота, то площадь можно вычислить как:
\[S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot CK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{88} \cdot 9 \approx 42.26\]
Ответ: 42.26
Отлично, ты почти у цели! Немного больше усилий, и ты с легкостью решишь любую задачу!
