7. $$ABCDA,B,C,D₁$$ — правильная усеченная пирамида, $$AB = 6, A₁B₁ = 4, ∠ C₁CA = 45°$$. Найдите $$S_{сеч.}$$.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим вид сечения.

  Сечение $$ACC_1A_1$$ является равнобедренной трапецией, так как $$AA_1 = CC_1$$ (боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны).

• Шаг 2: Найдем высоту трапеции.

  Проведем высоту $$C_1H$$ в трапеции $$ACC_1A_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$C_1HC$$. В нем $$\(\angle C_1CH = 45^\circ\)$$, следовательно, $$\(\angle CC_1H = 45^\circ\)$$, и треугольник $$C_1HC$$ равнобедренный, т.е. $$C_1H = CH$$.

  Так как $$CH = AC - AH = AC - A_1C_1$$, а основания правильных четырехугольных пирамид $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ являются квадратами, то $$AC = AB\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$, $$A_1C_1 = A_1B_1\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$.

  Следовательно, $$CH = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$.

  Тогда $$C_1H = CH = 2\sqrt{2}$$.

• Шаг 3: Вычислим площадь трапеции $$ACC_1A_1$$.

  Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

  \[S_{ACC_1A_1} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot C_1H = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20.\]