3. ABCDA1B1C1D1 – правильная четы- рехугольная призма с основанием ABCD, AD = 6, ∠BB₁D = 45°. Найдите длину ее диагонали АС1.

Рассмотрим четырехугольник BB₁D. ∠BB₁D = 45°. Так как призма правильная четырехугольная, то основание ABCD - квадрат, BB₁ ⊥ B₁D. Следовательно, ∆BB₁D - прямоугольный, ∠BDB₁ = 90° - 45° = 45°. Следовательно, ∆BB₁D - равнобедренный, BB₁ = BD.

Найдем BD по теореме Пифагора из ∆ABD: BD² = AB² + AD².

Так как ABCD - квадрат, то AB = AD = 6.

BD² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72. BD = √72 = 6√2.

BB₁ = 6√2.

Рассмотрим ∆ABC₁. Он прямоугольный, так как BB₁ ⊥ ABC. Найдем AC по теореме Пифагора: AC² = AB² + BC² = 6² + 6² = 72.

AC = √72 = 6√2.

Рассмотрим ∆ACC₁. Он прямоугольный, так как CC₁ ⊥ AC. Найдем AC₁ по теореме Пифагора: AC₁² = AC² + CC₁².

AC₁² = (6√2)² + (6√2)² = 72 + 72 = 144. AC₁ = √144 = 12.

Ответ: 12