##ABCDEFGHI – правильный девятиугольник. Найдите угол CAF. Ответ дайте в градусах.

Правильный девятиугольник имеет 9 равных сторон и 9 равных углов. Сумма углов любого n-угольника равна $$(n-2) \cdot 180^{\circ}$$. Следовательно, сумма углов девятиугольника равна $$(9-2) \cdot 180^{\circ} = 7 \cdot 180^{\circ} = 1260^{\circ}$$. Так как девятиугольник правильный, каждый его угол равен $$\frac{1260^{\circ}}{9} = 140^{\circ}$$. Теперь рассмотрим угол CAF. Точки A, B, C, D, E, F, G, H, I – вершины правильного девятиугольника. Угол BAC равен углу, опирающемуся на дугу BC. Центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен $$\frac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ}$$. Вписанный угол равен половине центрального угла, следовательно, $$\angle BAC = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ}$$. Аналогично, угол BAF опирается на дугу BF, которая содержит 3 стороны девятиугольника. Значит, центральный угол, опирающийся на дугу BF, равен $$3 \cdot \frac{360^{\circ}}{9} = 3 \cdot 40^{\circ} = 120^{\circ}$$. Вписанный угол BAF равен половине центрального угла, следовательно, $$\angle BAF = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$$. Тогда $$\angle CAF = \angle BAF - \angle BAC = 60^{\circ} - 20^{\circ} = 40^{\circ}$$. Ответ: 40