AD и CE — биссектрисы равнобедренного треугольника с основанием АС. Докажите, что ∆ АЕС = ∆ CDA.

Доказательство:

Дано:

∆ ABC — равнобедренный, AC — основание.

AD и CE — биссектрисы.

Доказать: ∆ AEC = ∆ CDA.

1. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
2. Так как AD и CE — биссектрисы, они делят углы \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) пополам соответственно.
3. Следовательно, \( \angle EAC = \frac{1}{2} \angle BAC \) и \( \angle DCA = \frac{1}{2} \angle BCA \).
4. Из равенства \( \angle BAC = \angle BCA \) следует, что \( \angle EAC = \angle DCA \).
5. Сторона AC является общей для треугольников AEC и CDA.
6. Рассмотрим треугольники AEC и CDA:
   • \( \angle EAC = \angle DCA \) (доказано выше).
   • AC — общая сторона.
   • \( \angle ACE = \frac{1}{2} \angle BCA \) и \( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC \). Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( \angle ACE = \angle CAD \).
7. По стороне и двум прилежащим углам (признак равенства треугольников) ∆ AEC = ∆ CDA.

Доказано.