АД=АВ+АС 2A0=AB+AC 2/3A0=AM 2*3/2AM=AB+AC 3AM=AB+AC AM=1/3AB+1/3AC АО=3/2AM Упражнения: 1. Дан вектора = (4,-2,3). Найти координаты вектора Б, если |a|=|b|,ay=by,bx=0. |a|=√(ax²+ay²+az² 2. Дано | АВ = а +26, ВС = -40-Б, СD)=-52-36. Доказать, что ABCD – трапеция. 3. Векторы а = АС, Ь = BD служат диагоналями параллелограмма АВСD. Выразить векторы АВ, BC, CD, DA через векторы а и в. 4. В ДАВС дано АВ = а, АС = Б, точка М - середина стороны ВС. Выразить вектор АМ через векторы а и в. 5. В ДАВС проведены медианы AD, BE, CF. Представить векторы AD, BE, CF через векторы АВ и АС. Тел:8-987-234-42-17. Большая перем 11-20 до 11-50.

1. Задача 1: Найти координаты вектора \[\vec{b}\]

   Дано: \[\vec{a} = (4, -2, 3)\]

   \[|\vec{a}| = |\vec{b}|, a_y = b_y, b_x = 0\]

   Решение:

   • Найдем модуль вектора \[\vec{a}\]:

   \[|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}\]

   • Так как \[|\vec{a}| = |\vec{b}|\] , то \[|\vec{b}| = \sqrt{29}\]
   • Известно, что \[b_x = 0\] и \[a_y = b_y\] , значит \[b_y = -2\]
   • Найдем \[b_z\]:

   \[|\vec{b}|^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\]

   \[29 = 0^2 + (-2)^2 + b_z^2\]

   \[b_z^2 = 29 - 4 = 25\]

   \[b_z = \pm 5\]

   Ответ: \[\vec{b} = (0, -2, 5)\] или \[\vec{b} = (0, -2, -5)\]

2. Задача 2: Доказать, что ABCD - трапеция.

   Дано: \[\vec{AB} = \vec{a} + 2\vec{b}, \vec{BC} = -4\vec{a} - \vec{b}, \vec{CD} = -5\vec{a} - 3\vec{b}\]

   Решение:

   • Чтобы доказать, что ABCD - трапеция, нужно показать, что две стороны параллельны.
   • Проверим параллельность \[\vec{AB}\] и \[\vec{CD}\]:

   Если \[\vec{CD} = k \cdot \vec{AB}\] , то они параллельны.

   \[-5\vec{a} - 3\vec{b} = k(\vec{a} + 2\vec{b})\]

   Выразим \[\vec{a}\] через \[\vec{b}\] из первого уравнения и подставим во второе.

   \[\vec{a} = -\frac{1}{4} \vec{BC} - \frac{1}{4} \vec{b}\]

   \[\vec{CD} = -5\vec{a} - 3\vec{b} = -5(-\frac{1}{4} \vec{BC} - \frac{1}{4} \vec{b}) - 3\vec{b} = \frac{5}{4} \vec{BC} + \frac{5}{4} \vec{b} - 3\vec{b} = \frac{5}{4} \vec{BC} - \frac{7}{4} \vec{b}\]

   Это не кратно \[\vec{AB}\] , поэтому \[\vec{AB}\] и \[\vec{CD}\] не параллельны.

   • Проверим параллельность \[\vec{BC}\] и \[\vec{AD}\]:

   \[\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = (\vec{a} + 2\vec{b}) + (-4\vec{a} - \vec{b}) + (-5\vec{a} - 3\vec{b}) = -8\vec{a} - 2\vec{b}\]

   Проверим, кратно ли \[\vec{AD}\] вектору \[\vec{BC}\]:

   \[\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}\]

   \[-8\vec{a} - 2\vec{b} = k(-4\vec{a} - \vec{b})\]

   Если \[k = 2\] , то \[-8\vec{a} - 2\vec{b} = 2(-4\vec{a} - \vec{b})\] , что верно.

   Значит, \[\vec{AD}\] и \[\vec{BC}\] параллельны, и ABCD - трапеция.

3. Задача 3: Выразить векторы \[\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{DA}\] через векторы \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\]

   Дано: \[\vec{a} = \vec{AC}, \vec{b} = \vec{BD}\]

   • Выразим \[\vec{AB}\]:

   \[\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}\]

   \[\vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD}\]

   \[\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CD} - \vec{BD} = \vec{a} + \vec{CD} - \vec{b}\]

   • Выразим \[\vec{CD}\]:

   \[\vec{CD} = -\vec{AB} + \vec{a}\]

   \[\vec{AB} = \vec{a} + (-\vec{AB} + \vec{a}) - \vec{b}\]

   \[2\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}\]

   \[\vec{AB} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}\]

   • Выразим \[\vec{BC}\]:

   \[\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{a} - (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{b}\]

   • Выразим \[\vec{CD}\]:

   \[\vec{CD} = -\vec{AB} + \vec{a} = -(\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) + \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}\]

   • Выразим \[\vec{DA}\]:

   \[\vec{DA} = -\vec{AD} = -(\vec{AC} + \vec{CD}) = -(\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}\]

   Итог:

   \[\vec{AB} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}\]

   \[\vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{b}\]

   \[\vec{CD} = \frac{1}{2} \vec{b}\]

   \[\vec{DA} = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}\]

4. Задача 4: Выразить вектор \[\vec{AM}\] через векторы \[\vec{a}\] и \[\vec{b}\]

   Дано: \[\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AC} = \vec{b}\] , M - середина BC

   Решение:

   \[\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}\]

   \[\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC}\]

   \[\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\]

   \[\vec{BM} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})\]

   \[\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}\]

   Ответ: \[\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}\]

5. Задача 5: Представить векторы \[\vec{AD}, \vec{BE}, \vec{CF}\] через векторы \[\vec{AB}\] и \[\vec{AC}\]

   Решение:

   Пусть \[\vec{AB} = \vec{c}\] и \[\vec{AC} = \vec{d}\]

   • Выразим \[\vec{AD}\]:

   Т.к. AD - медиана, то D - середина BC.

   \[\vec{AD} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2} (\vec{c} + \vec{d})\]

   • Выразим \[\vec{BE}\]:

   Т.к. BE - медиана, то E - середина AC.

   \[\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC} = -\vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d}\]

   • Выразим \[\vec{CF}\]:

   Т.к. CF - медиана, то F - середина AB.

   \[\vec{CF} = \vec{CA} + \vec{AF} = -\vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AB} = -\vec{d} + \frac{1}{2} \vec{c}\]

   Итог:

   \[\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\]

   \[\vec{BE} = -\vec{c} + \frac{1}{2} \vec{d} = -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\]

   \[\vec{CF} = \frac{1}{2} \vec{c} - \vec{d} = \frac{1}{2} \vec{AB} - \vec{AC}\]

Result Card:

Ты просто Digital Alchemist! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей