АД=АВ+АС 2A0=AB+AC 2/3A0=AM 2*3/2AM=AB+AC 3AM=AB+AC AM=1/3AB+1/3AC АО=3/2AM Упражнения: 1. Дан вектора = (4,-2,3). Найти координаты вектора Б, если 2. Дано | АВ = а +26, ВС = -40-Б, СD)=-52-36. Доказать, что ABCD – трапеция. 3. Векторы а = АС, Ь = BD служат диагоналями параллелограмма АВСD. Выразить векторы АВ, BC, CD, DA через векторы а и в. 4. В ДАВС дано АВ = а, АС = Б, точка М - середина стороны ВС. Выразить вектор АМ через векторы а и в. 5. В ДАВС проведены медианы AD, BE, CF. Представить векторы AD, BE, CF через векторы АВ и АС. Тел:8-987-234-42-17. Большая перем 11-20 до 11-50.

Упражнение 1:

Дано вектор \(\vec{a} = (4, -2, 3)\). Найти координаты вектора \(\vec{b}\), если \(|\vec{a}| = |\vec{b}|, a_y = b_y, b_x = 0\).

Решение:

• Находим модуль вектора \(\vec{a}\):

• Так как \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\), то \(|\vec{b}| = \sqrt{29}\).
• Известно, что \(b_x = 0\) и \(a_y = b_y = -2\).
• Находим \(b_z\) из уравнения для модуля вектора \(\vec{b}\):

• Таким образом, векторы \(\vec{b}\) имеют координаты \((0, -2, 5)\) и \((0, -2, -5)\).

Ответ: \(\vec{b} = (0, -2, 5)\) и \(\vec{b} = (0, -2, -5)\)

Упражнение 2:

Дано \(\vec{AB} = \vec{a} + 2\vec{b}\), \(\vec{BC} = -4\vec{a} - \vec{b}\), \(\vec{CD} = -5\vec{a} - 3\vec{b}\). Доказать, что \(ABCD\) – трапеция.

Решение:

• Для доказательства, что \(ABCD\) - трапеция, нужно показать, что две стороны параллельны. Проверим параллельность векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\).
• Векторы параллельны, если один из них можно выразить через другой, умножив на скаляр.

Из этого уравнения видно, что невозможно подобрать такое \(k\), чтобы выполнялось равенство для обоих векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) одновременно.

Теперь проверим параллельность векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\). Чтобы найти \(\vec{AD}\), воспользуемся правилом обхода в четырехугольнике:

Проверим параллельность \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\):

Видим, что \(k = -2\), так как \(8\vec{a} = -2 \cdot (-4\vec{a})\) и \(2\vec{b} = -2 \cdot (-\vec{b})\). Следовательно, \(\vec{AD} = -2 \cdot \vec{BC}\), что означает, что векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) параллельны.

Так как \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\) параллельны, то \(ABCD\) - трапеция.

Ответ: ABCD - трапеция

Упражнение 3:

Векторы \(\vec{a} = \vec{AC}\), \(\vec{b} = \vec{BD}\) служат диагоналями параллелограмма \(ABCD\). Выразить векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CD}\), \(\vec{DA}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Решение:

• В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Пусть точка пересечения диагоналей - точка \(O\).

• Тогда \(\vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{a}\) и \(\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BD} = \frac{1}{2} \vec{b}\).

• Выразим векторы сторон через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

• \(\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})\)

• \(\vec{BC} = \vec{BO} + \vec{OC} = \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})\)

• \(\vec{CD} = -\vec{AB} = -\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})\)

• \(\vec{DA} = -\vec{BC} = -\frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})\)

Ответ: \(\vec{AB} = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})\), \(\vec{BC} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})\), \(\vec{CD} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})\), \(\vec{DA} = \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})\)

Упражнение 4:

В \(\triangle ABC\) дано \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{AC} = \vec{b}\), точка \(M\) - середина стороны \(BC\). Выразить вектор \(\vec{AM}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Решение:

• Так как \(M\) - середина \(BC\), то \(\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC}\).
• Выразим вектор \(\vec{BC}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

• Тогда \(\vec{BM} = \frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})\).
• Теперь выразим вектор \(\vec{AM}\):

Ответ: \(\vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})\)

Упражнение 5:

В \(\triangle ABC\) проведены медианы \(AD\), \(BE\), \(CF\). Представить векторы \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\), \(\vec{CF}\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

Решение:

• Так как \(AD\) медиана, то \(D\) - середина \(BC\). Значит, \(\vec{BD} = \frac{1}{2} \vec{BC}\).
• Тогда \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \vec{AB} + \frac{1}{2} (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC} - \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\).
• Аналогично, \(E\) - середина \(AC\), значит, \(\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AC}\).
• Тогда \(\vec{BE} = \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\).
• \(F\) - середина \(AB\), значит, \(\vec{AF} = \frac{1}{2} \vec{AB}\).
• Тогда \(\vec{CF} = \vec{CA} + \vec{AF} = -\vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AB}\).

Ответ: \(\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\), \(\vec{BE} = -\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}\), \(\vec{CF} = -\vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AB}\)

Ответ: