Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а сумма их баллов больше 15. Сумма баллов всех трёх девочек оказалась меньше 60 и в 3\( \frac{1}{3} \) раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина?

Решение:

Обозначим количество баллов, набранных девочками, следующим образом:

• Аделина: \( A \)
• Эвелина: \( E \)
• Паулина: \( P \)

Из условия задачи известно:

1. \( A = E \) (Аделина и Эвелина показали одинаковый результат).
2. \( A + E > 15 \) (сумма их баллов больше 15).
3. \( A + E + P < 60 \) (сумма баллов всех трёх девочек оказалась меньше 60).
4. \( A + E + P = 3\frac{1}{3} P = \frac{10}{3} P \) (сумма баллов всех трёх девочек в \( 3\frac{1}{3} \) раза больше, чем набрала Паулина).

Подставим \( A = E \) в неравенство \( A + E > 15 \):

\( A + A > 15 \) \( \Rightarrow \) \( 2A > 15 \) \( \Rightarrow \) \( A > 7.5 \)

Поскольку количество баллов — целое неотрицательное число, то \( A \) может быть \( 8, 9, 10, \dots \).

Из равенства \( A + E + P = \frac{10}{3} P \) следует, что \( P = \frac{3}{10} (A + E + P) \).

Также, из \( A + E + P = \frac{10}{3} P \) выразим \( P \):

\( P = \frac{3}{10} (A + E + P) \). Используем \( A = E \):

\( P = \frac{3}{10} (2A + P) \)

\( 10P = 3(2A + P) \)

\( 10P = 6A + 3P \)

\( 7P = 6A \)

\( P = \frac{6}{7} A \)

Теперь подставим это в неравенство \( A + E + P < 60 \), учитывая \( A = E \):

\( 2A + P < 60 \)

\( 2A + \frac{6}{7} A < 60 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{14A + 6A}{7} < 60 \)

\( \frac{20A}{7} < 60 \)

\( 20A < 60 \times 7 \)

\( 20A < 420 \)

\( A < \frac{420}{20} \)

\( A < 21 \)

Итак, мы имеем два условия для \( A \): \( A > 7.5 \) и \( A < 21 \). Также \( P = \frac{6}{7} A \) должно быть целым числом. Это значит, что \( A \) должно делиться на 7.

Из диапазона \( 8 \le A < 21 \), числа, делящиеся на 7, это \( 14 \).

Если \( A = 14 \), то:

• \( E = 14 \)
• \( P = \frac{6}{7} \times 14 = 12 \)

Проверим условия:

• \( A = E = 14 \) (верно).
• \( A + E = 14 + 14 = 28 > 15 \) (верно).
• \( A + E + P = 14 + 14 + 12 = 40 < 60 \) (верно).
• \( 3\frac{1}{3} \times P = \frac{10}{3} \times 12 = 40 \) (верно).

Следовательно, Аделина набрала 14 баллов.

Ответ: 14 баллов.