Административная контрольная работа по математике в 8 классе за 3 четверть. 1 вариант. 1. Решите систему уравнений : {3x² + 2y² = 11, { x + 2y = 3. 2. Найдите корни уравнения: a) 2p² + 7p-30 = 0; б) 5x28x + 3 = 0. 3. Теплоход проходит за 4 ч по течению такое же расстояние, какое за 5 часов против течения. Найдите скорость течения, если она меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч. 4. В прямоугольном треугольнике а и в - катеты, - гипотенуза. Найдите ь, если a= 2√3 5. , c = 2 b. a) a = 12, c = 13; Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков: а) (-3; +∞) и (4; +∞); б) (-∞; 10) и (-∞; 6). 6. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: { y = x² + 1, { xy = 3.

Ответ: Решения ниже

1. Решение системы уравнений:

Выразим x из второго уравнения: x = 3 - 2y

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[3(3-2y)^2 + 2y^2 = 11\] \[3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11\] \[27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11\] \[14y^2 - 36y + 16 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[7y^2 - 18y + 8 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100\] \[y_1 = \frac{18 + \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 + 10}{14} = \frac{28}{14} = 2\] \[y_2 = \frac{18 - \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 - 10}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}\]

Найдем соответствующие значения x:

Если y = 2, то x = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1

Если y = 4/7, то x = 3 - 2 \cdot (4/7) = 3 - 8/7 = (21 - 8)/7 = 13/7

Ответ: (-1; 2) и (13/7; 4/7)

2. Найдем корни уравнений:

а) 2p² + 7p - 30 = 0

\[D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289\] \[p_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\] \[p_2 = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 17}{4} = \frac{-24}{4} = -6\]

Ответ: p₁ = 2.5, p₂ = -6

б) 5x² - 8x + 3 = 0

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4\] \[x_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1\] \[x_2 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6\]

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 0.6

3. Задача про теплоход:

Пусть v - собственная скорость теплохода, u - скорость течения.

Расстояние, которое теплоход проходит по течению за 4 часа: 4(v + u)

Расстояние, которое теплоход проходит против течения за 5 часов: 5(v - u)

По условию эти расстояния равны:

\[4(v + u) = 5(v - u)\] \[4v + 4u = 5v - 5u\] \[9u = v\]

Также известно, что скорость течения меньше собственной скорости на 40 км/ч:

\[v - u = 40\]

Подставим v = 9u в это уравнение:

\[9u - u = 40\] \[8u = 40\] \[u = 5\]

Ответ: Скорость течения равна 5 км/ч.

4. Прямоугольный треугольник:

а) a = 12, c = 13;

По теореме Пифагора: a² + b² = c²

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\]

Ответ: b = 5

б) a = 2√3, c = 2b;

По теореме Пифагора: a² + b² = c², то есть (2√3)² + b² = (2b)²

\[12 + b^2 = 4b^2\] \[3b^2 = 12\] \[b^2 = 4\] \[b = 2\]

Ответ: b = 2

5. Координатная прямая:

а) (-3; +∞) и (4; +∞)

Пересечение: (4; +∞)

Объединение: (-3; +∞)

б) (-∞; 10) и (-∞; 6)

Пересечение: (-∞; 6)

Объединение: (-∞; 10)

6. Графики уравнений:

График первого уравнения y = x² + 1 - парабола с вершиной в точке (0; 1).

График второго уравнения xy = 3, или y = 3/x - гипербола.

Чтобы выяснить, сколько решений имеет система, нужно посмотреть, сколько раз пересекаются эти графики.

Построим графики (с помощью canvas и Chart.js):

Графики пересекаются в двух точках. Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: Система имеет два решения.

Ответ: Решения выше