712. Ако многоугао има n темена, $$d_n$$ дијагонала које одговарају истом темену, и укупно $$D_n$$ дијагонала, попуни табелу одговарајућим вредностима.

Према услову задатка, потребно је попунити табелу одговарајућим вредностима, знајући да је $$n$$ број темена многоугла, $$d_n$$ број дијагонала које одговарају истом темену и $$D_n$$ укупан број дијагонала. Везе између ових величина дате су следећим формулама: $$d_n = n - 3$$ и $$D_n = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{n \cdot d_n}{2}$$ Сада ћемо попунити табелу. 1) Ако је $$n = 16$$, онда $$d_n = 16 - 3 = 13$$ $$D_n = \frac{16(16-3)}{2} = \frac{16 \cdot 13}{2} = 8 \cdot 13 = 104$$ 2) Ако је $$d_n = 16$$, онда $$n = d_n + 3 = 16 + 3 = 19$$ $$D_n = \frac{19(19-3)}{2} = \frac{19 \cdot 16}{2} = 19 \cdot 8 = 152$$ 3) Ако је $$D_n = 14$$, онда $$\frac{n(n-3)}{2} = 14$$ $$n(n-3) = 28$$ $$n^2 - 3n - 28 = 0$$ Решавамо квадратну једначину: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$$ $$n_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 11}{2}$$ $$n_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$n_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ (нема смисла, јер $$n$$ мора бити позитивно) Дакле, $$n = 7$$ $$d_n = 7 - 3 = 4$$ 4) Ако је $$D_n = 6d_n$$, онда $$\frac{n(n-3)}{2} = 6(n-3)$$ $$n(n-3) = 12(n-3)$$ $$n^2 - 3n = 12n - 36$$ $$n^2 - 15n + 36 = 0$$ Решавамо квадратну једначину: $$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81$$ $$n_{1,2} = \frac{-(-15) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{15 \pm 9}{2}$$ $$n_1 = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$n_2 = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ (нема смисла, јер $$d_n = n - 3 = 0$$) Дакле, $$n = 12$$ $$d_n = 12 - 3 = 9$$ Сада попуњавамо табелу: | n | $$d_n$$ | $$D_n$$ | | --- | ----- | ----- | | 16 | 13 | 104 | | 19 | 16 | 152 | | 7 | 4 | 14 | | 12 | 9 | 54 | Ответ: | n | $$d_n$$ | $$D_n$$ | | --- | ----- | ----- | | 16 | 13 | 104 | | 19 | 16 | 152 | | 7 | 4 | 14 | | 12 | 9 | 54 |