Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

Задание 1

Дано: точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости.

Указать:

1. плоскости, которым принадлежит:
   • прямая AB; б) точка F; в) точка C.
   • прямую пересечения плоскостей:
     • ABC и ACD;
     • ABD и DCF.

Решение:

1. Плоскости, которым принадлежат указанные элементы:
   • Прямая AB принадлежит плоскостям ABC и ABD.
   • Точка F принадлежит плоскостям BCD и ABF.
   • Точка C принадлежит плоскостям ABC и ACD.
2. Прямая пересечения плоскостей:
   • Плоскости ABC и ACD пересекаются по прямой AC.
   • Плоскости ABD и DCF пересекаются по прямой DF.

Задание 2

Дано: прямые a, b и c пересекают плоскость α в точках M, K и P.

Лежат ли прямые a, b и c в одной плоскости?

Решение:

Прямые a, b и c не обязательно лежат в одной плоскости, так как они пересекают плоскость α в разных точках, и нет информации об их взаимном расположении.

Задание 3

Дано: точка M лежит вне плоскости α, а точки A, B и C принадлежат этой плоскости.

1. Принадлежит ли точка F плоскости α?
2. Указать прямую пересечения плоскостей:
   • α и ABM; б) ABM и BMC.
3. Может ли точка E принадлежать плоскости α?
4. Принадлежит ли прямая AC плоскости MBC?

Решение:

1. Точка F принадлежит плоскости α, так как она лежит на прямой BC, которая лежит в плоскости α.
2. Прямые пересечения плоскостей:
   • Пересечение плоскостей α и ABM есть прямая AB.
   • Пересечение плоскостей ABM и BMC есть прямая BM.
3. Точка E не может принадлежать плоскости α, так как прямая ME пересекает плоскость α в точке F.
4. Прямая AC не принадлежит плоскости MBC.

Задание 4

Дано: прямая c - линия пересечения плоскостей α и β. Прямые a и b принадлежат плоскостям α и β соответственно.

Доказать: прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Прямые a и b не лежат в одной плоскости, так как они лежат в разных плоскостях (α и β), которые пересекаются по прямой c. Если бы они лежали в одной плоскости, то плоскости α и β совпадали бы, что противоречит условию.