Алгебра 8 класс (Макарычев) Контрольная работа № 7. Вариант 3 § 10. Числовые неравенства и их свойства

Ответ: Решение ниже

1. Докажите неравенство:
   • a) \[(x-3)^2 > x(x-6)\] Раскрываем скобки: \[x^2 - 6x + 9 > x^2 - 6x\] Сокращаем одинаковые члены: \[9 > 0\] Неравенство верно.
   • б) \[y^2 + 1 > 2(5y - 12)\] Раскрываем скобки: \[y^2 + 1 > 10y - 24\] Переносим все в одну сторону: \[y^2 - 10y + 25 > 0\] \[(y - 5)^2 > 0\] Неравенство верно для всех y, кроме y = 5.
2. Известно, что x < y. Сравните:
   • a) 8x и 8y Так как x < y, то 8x < 8y.
   • б) -1.4x и -1.4y Так как x < y, то -1.4x > -1.4y (при умножении на отрицательное число знак меняется).
   • в) -5.6y и -5.6x Так как x < y, то -5.6y < -5.6x (аналогично, знак меняется).
3. Известно, что 3.6 < √13 < 3.7. Оцените:
   • a) 3√13 Умножаем все части неравенства на 3: \[3 \cdot 3.6 < 3\sqrt{13} < 3 \cdot 3.7\] \[10.8 < 3\sqrt{13} < 11.1\]
   • б) -2√13 Умножаем все части неравенства на -2 (знаки меняются): \[-2 \cdot 3.7 < -2\sqrt{13} < -2 \cdot 3.6\] \[-7.4 < -2\sqrt{13} < -7.2\]
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами x см и y см, если известно, что 1.1 < x < 1.2, 1.5 < y < 1.6. Периметр P = 2(x + y), Площадь S = x \cdot y Оценка периметра: \[2(1.1 + 1.5) < P < 2(1.2 + 1.6)\] \[2(2.6) < P < 2(2.8)\] \[5.2 < P < 5.6\] Оценка площади: \[1.1 \cdot 1.5 < S < 1.2 \cdot 1.6\] \[1.65 < S < 1.92\]
5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других. Пусть числа n-1, n, n+1. Среднее число n. Квадрат среднего: n² Произведение двух других: (n-1)(n+1) = n² - 1 Сравнение: n² > n² - 1

Ответ:

1) a) Неравенство верно; б) Неравенство верно для всех y, кроме y = 5.

2) a) 8x < 8y; б) -1.4x > -1.4y; в) -5.6y < -5.6x.

3) a) 10.8 < 3√13 < 11.1; б) -7.4 < -2√13 < -7.2.

4) 5.2 < P < 5.6; 1.65 < S < 1.92.

5) n² > n² - 1.