Алгебра и начало анализа 11 Контрольная работа по теме "Производная. Применение производной" Вариант 1 Сюжет: Движение материальной точки по прямой задано законом s(t) = t³ - 6t² + 9t + 2, где ѕ – путь в метрах, 1 время в секундах. 1. Найдите производную функции s(t) и объясните её физический смысл. Вычислите мгновенную скорость точки в момент времени 1-2 с. 2. Используя результат задания 1, найдите ускорение точки в момент времени 1-2 с. Определите, движется ли точка в этот момент с ускорением или замедлением. 3. Найдите все моменты времени, когда скорость точки равна нулю. Определите характер движения точки (остановка с последующим изменением направления или «мёртвая точка»). 4. На основании результатов задания 3 определите промежутки возрастания и убывания функции скорости v(t). Укажите момент времени, когда ускорение максимально. 5. Точка начинает движение из положения s(0). Найдите наибольшее удаление точки от начального положения за промежуток времени 1 ∈ [0;4]. Обоснуйте ответ с помощью результатов предыдущих заданий.

Решение

Давай разберем по порядку каждое задание.

1. Производная функции s(t) и её физический смысл

Дано:

\[ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2 \]

Сначала найдем производную функции s(t):

\[ s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \]

Физический смысл производной s(t) — это мгновенная скорость точки в момент времени t.

Теперь вычислим мгновенную скорость точки в момент времени t = 2 с:

\[ v(2) = s'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \]

Мгновенная скорость точки в момент времени t = 2 с равна -3 м/с.

2. Ускорение точки в момент времени t = 2 с

Ускорение — это производная от скорости, то есть вторая производная от s(t):

\[ a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t - 12 \]

Вычислим ускорение в момент времени t = 2 с:

\[ a(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0 \]

Ускорение точки в момент времени t = 2 с равно 0 м/с².

Так как ускорение равно 0, то точка движется равномерно, то есть ни с ускорением, ни с замедлением.

3. Моменты времени, когда скорость точки равна нулю

Чтобы найти моменты времени, когда скорость равна нулю, решим уравнение:

\[ 3t^2 - 12t + 9 = 0 \]

Разделим уравнение на 3:

\[ t^2 - 4t + 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ (t - 1)(t - 3) = 0 \]

Получаем два момента времени:

\[ t_1 = 1 \] и \( t_2 = 3 \]

В моменты времени t = 1 с и t = 3 с скорость точки равна нулю.

Характер движения точки:

• В момент t = 1 с точка останавливается и меняет направление движения.
• В момент t = 3 с точка снова останавливается и меняет направление движения.

4. Промежутки возрастания и убывания функции скорости v(t)

Функция скорости: \( v(t) = 3t^2 - 12t + 9 \]

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, найдем производную v(t):

\[ v'(t) = 6t - 12 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 6t - 12 = 0 \]

\[ t = 2 \]

Теперь определим знаки производной на промежутках:

• При \( t < 2 \], \( v'(t) < 0 \] (функция убывает).
• При \( t > 2 \], \( v'(t) > 0 \] (функция возрастает).

Ускорение максимально в те моменты времени, когда скорость возрастает наиболее быстро. Так как \( a(t) = 6t - 12 \], то ускорение максимально при максимальном t.

5. Наибольшее удаление точки от начального положения за промежуток времени t ∈ [0;4]

Начальное положение: \( s(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 2 = 2 \]

Найдем положение точки в моменты времени t = 1, t = 3 и t = 4:

• \( s(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \]
• \( s(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2 \]
• \( s(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 9(4) + 2 = 64 - 96 + 36 + 2 = 6 \]

Удаление точки от начального положения:

• В момент t = 1: \( |s(1) - s(0)| = |6 - 2| = 4 \]
• В момент t = 3: \( |s(3) - s(0)| = |2 - 2| = 0 \]
• В момент t = 4: \( |s(4) - s(0)| = |6 - 2| = 4 \]

Наибольшее удаление точки от начального положения за промежуток времени t ∈ [0;4] равно 4 метрам.

Ответ:

• 1. \( s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \], \( v(2) = -3 \] м/с
• 2. \( a(2) = 0 \] м/с², движется равномерно
• 3. \( t_1 = 1 \] с, \( t_2 = 3 \] с
• 4. Функция убывает при \( t < 2 \], функция возрастает при \( t > 2 \].
• 5. Наибольшее удаление 4 м.

Ответ: все ответы выше