Алгебра 13. В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в преды дущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра? 14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом сле- дующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счету прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см? 15. Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следую- щую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошел за первые 7 се- кунд движения?

13. Места в амфитеатре

Разбираемся:

• Это задача на арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду увеличивается на одно и то же число.
• В первом ряду 21 место, и каждый следующий ряд имеет на 2 места больше.

Чтобы найти количество мест в одиннадцатом ряду, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] где:

• \( a_n \) - количество мест в n-ом ряду,
• \( a_1 \) - количество мест в первом ряду,
• \( n \) - номер ряда, который нужно найти,
• \( d \) - разность между количеством мест в последовательных рядах.

В нашем случае:

• \( a_1 = 21 \),
• \( n = 11 \),
• \( d = 2 \).

Подставляем значения в формулу: \[ a_{11} = 21 + (11 - 1) \cdot 2 \] \[ a_{11} = 21 + 10 \cdot 2 \] \[ a_{11} = 21 + 20 \] \[ a_{11} = 41 \]

Ответ:

В одиннадцатом ряду амфитеатра 41 место.

14. Прыжки мячика

Разбираемся:

• Мячик подпрыгивает каждый раз на высоту в три раза меньше предыдущей.
• Начальная высота 3,6 м.
• Нужно найти, после какого прыжка высота будет меньше 15 см.

Переведем 15 см в метры: 15 см = 0,15 м.

После каждого прыжка высота уменьшается в 3 раза, то есть высота каждого прыжка составляет \( \frac{1}{3} \) от предыдущего. Чтобы найти высоту после n-го прыжка, можно использовать формулу: \[ h_n = h_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \] где:

• \( h_n \) - высота после n-го прыжка,
• \( h_1 \) - начальная высота (3,6 м),
• \( n \) - номер прыжка.

Мы хотим найти такое n, при котором: \[ h_n < 0.15 \] Подставим известные значения: \[ 3.6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.15 \]

Разделим обе части неравенства на 3,6: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{0.15}{3.6} \] \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{24} \]

Для решения этого неравенства нужно найти такое n, при котором \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \) будет меньше, чем \( \frac{1}{24} \). Можно проверить несколько значений n:

• Для \( n = 1 \): \( \left(\frac{1}{3}\right)^{1-1} = 1 \)
• Для \( n = 2 \): \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2-1} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \)
• Для \( n = 3 \): \( \left(\frac{1}{3}\right)^{3-1} = \frac{1}{9} \approx 0.11 \)
• Для \( n = 4 \): \( \left(\frac{1}{3}\right)^{4-1} = \frac{1}{27} \approx 0.037 \)

После третьего прыжка высота мячика 0,11 м, а после четвертого 0,037 м, что меньше 0,15 м. Значит, мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см после четвертого прыжка.

Ответ:

Мячик в первый раз не достигнет высоты 15 см после 4 прыжка.

15. Движение поезда

Разбираемся:

• Поезд начинает движение от станции.
• За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м.
• Каждую следующую секунду он проходит на 0,1 м больше, чем за предыдущую.
• Нужно найти, сколько метров состав прошел за первые 7 секунд движения.

Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d) \] где:

• \( S_n \) - сумма n первых членов,
• \( a_1 \) - первый член (расстояние за первую секунду),
• \( n \) - количество членов (количество секунд),
• \( d \) - разность (увеличение расстояния каждую секунду).

В нашем случае:

• \( a_1 = 0.6 \) м,
• \( n = 7 \) секунд,
• \( d = 0.1 \) м.

Подставляем значения в формулу: \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 0.6 + (7 - 1) \cdot 0.1) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot (1.2 + 6 \cdot 0.1) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot (1.2 + 0.6) \] \[ S_7 = \frac{7}{2} \cdot 1.8 \] \[ S_7 = 7 \cdot 0.9 \] \[ S_7 = 6.3 \]

Ответ:

За первые 7 секунд движения состав прошел 6,3 метра.