14:05-14:50 7. Алгебра из пункта решение задач с помощью систем уравнений разобрать алгоритм и два примера

Алгебра. Решение задач с помощью систем уравнений

• Система уравнений – это набор из двух и более уравнений, которые содержат общие переменные. Решением системы является набор значений переменных, которые удовлетворяют одновременно всем уравнениям системы.
• Методы решения систем уравнений:
• Метод подстановки: выражаем одну переменную через другую из одного уравнения и подставляем в другое уравнение.
• Метод сложения: умножаем уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными, затем складываем уравнения.
• Графический метод: строим графики уравнений и находим точки их пересечения.

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений:

1. Определите переменные: обозначьте неизвестные величины переменными (например, x и y).
2. Составьте систему уравнений: на основе условий задачи запишите два или более уравнения, связывающие эти переменные.
3. Решите систему уравнений: используйте один из методов (подстановки, сложения или графический) для нахождения значений переменных.
4. Проверьте решение: подставьте найденные значения переменных в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они удовлетворяют всем условиям задачи.
5. Запишите ответ: сформулируйте ответ на вопрос задачи, используя найденные значения переменных.

Примеры решения задач

Пример 1:

Сумма двух чисел равна 15, а их разность равна 3. Найдите эти числа.

• Решение:
• Обозначим первое число за x, а второе за y.
• Составим систему уравнений:
• x + y = 15
• x - y = 3
• Решим систему методом сложения:
• Сложим два уравнения: (x + y) + (x - y) = 15 + 3
• 2x = 18
• x = 9
• Подставим значение x в первое уравнение: 9 + y = 15
• y = 6
• Проверим решение: 9 + 6 = 15, 9 - 6 = 3
• Ответ: Первое число равно 9, второе число равно 6.

Пример 2:

Два килограмма яблок и три килограмма груш стоят 270 рублей. Один килограмм яблок и два килограмма груш стоят 180 рублей. Сколько стоит один килограмм яблок и один килограмм груш?

• Решение:
• Обозначим цену одного килограмма яблок за x, а цену одного килограмма груш за y.
• Составим систему уравнений:
• 2x + 3y = 270
• x + 2y = 180
• Решим систему методом подстановки:
• Выразим x из второго уравнения: x = 180 - 2y
• Подставим значение x в первое уравнение: 2(180 - 2y) + 3y = 270
• 360 - 4y + 3y = 270
• -y = -90
• y = 90
• Подставим значение y во второе уравнение: x + 2(90) = 180
• x = 0
• Проверим решение: 2(0) + 3(90) = 270, 0 + 2(90) = 180
• Ответ: Цена одного килограмма яблок равна 0 рублей, цена одного килограмма груш равна 90 рублей.

Ответ: Изучены методы решения задач с помощью систем уравнений, разобран алгоритм решения и рассмотрены два примера.