АЛГЕБРА Контрольная работа №5 «Квадратное уравнение и его корни» 1 вариант. a)2x²+7x-9= 0; 6)3x² = 18x 6)100x²-16-0 1. Решите уравнения: г)х2-16х + 63 = 0 2. Периметр прямоугольника 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24см². 3. В уравнении х² + px -18 = 0 один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Ответ: a) x₁ = 1, x₂ = -4.5; б) x₁ = 0, x₂ = 6; в) x₁ = 0.4, x₂ = -0.4; г) x₁ = 7, x₂ = 9; 2) 4 см и 6 см; 3) x₂ = 2, p = 7

1. Решите уравнения:

a) 2x² + 7x - 9 = 0

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121\]

• Находим корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\]

б) 3x² = 18x

• Переносим все в одну сторону:

3x² - 18x = 0

• Выносим x за скобки:

3x(x - 6) = 0

• Находим корни:

x₁ = 0

x - 6 = 0

x₂ = 6

в) 100x² - 16 = 0

• Выражаем x²:

100x² = 16

x² = \frac{16}{100} = 0.16

• Находим корни:

\[x_1 = \sqrt{0.16} = 0.4\] \[x_2 = -\sqrt{0.16} = -0.4\]

г) x² - 16x + 63 = 0

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 63 = 256 - 252 = 4\]

• Находим корни:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7\]

2. Периметр прямоугольника 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника 24 см².

• Пусть a и b - стороны прямоугольника.
• Периметр: 2(a + b) = 20, следовательно, a + b = 10.
• Площадь: a \cdot b = 24.
• Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases} a + b = 10 \\ a \cdot b = 24 \end{cases}\]

• Выразим a из первого уравнения: a = 10 - b
• Подставим во второе уравнение:

(10 - b) \cdot b = 24

10b - b² = 24

b² - 10b + 24 = 0

• Вычисляем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\]

• Находим корни:

\[b_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[b_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

• Если b = 6, то a = 10 - 6 = 4.
• Если b = 4, то a = 10 - 4 = 6.

3. В уравнении x² + px - 18 = 0 один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент p.

• Пусть x₁ = -9. Подставим в уравнение:

(-9)² + p(-9) - 18 = 0

81 - 9p - 18 = 0

-9p = -63

p = 7

• Теперь уравнение имеет вид:

x² + 7x - 18 = 0

• Используем теорему Виета:

\[x_1 \cdot x_2 = -18\] \[x_2 = \frac{-18}{x_1} = \frac{-18}{-9} = 2\]

Ответ: a) x₁ = 1, x₂ = -4.5; б) x₁ = 0, x₂ = 6; в) x₁ = 0.4, x₂ = -0.4; г) x₁ = 7, x₂ = 9; 2) 4 см и 6 см; 3) x₂ = 2, p = 7