Алёша задумал двузначное число и умножил это число на произведение его цифр, получив при этом 1104. Какое число задумал Алёша?

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Давай решим эту задачу по шагам:

Предположим, что задуманное число - это $$\overline{ab}$$, где a и b - цифры. Это значит, что число можно записать как $$10a + b$$.
По условию задачи, это число умножили на произведение его цифр, и получили 1104. То есть, $$(10a + b) \cdot a \cdot b = 1104$$.
Теперь нужно найти такие цифры a и b, чтобы равенство было верным. Начнем с разложения числа 1104 на множители, чтобы понять, какие варианты у нас есть.

$$1104 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 23 = 2^4 \cdot 3 \cdot 23$$

Давай попробуем различные варианты. Так как число $$10a + b$$ двузначное, то оно меньше 100. Также, произведение $$a \cdot b$$ не может быть слишком большим.
Заметим, что 23 является делителем числа 1104. Проверим, может ли задуманное число быть равным 23. Если $$10a + b = 23$$, то $$a = 2$$ и $$b = 3$$. Тогда произведение цифр равно $$2 \cdot 3 = 6$$. $$23 \cdot 6 = 138$$, что не равно 1104. Значит, 23 не подходит.
Попробуем другие варианты. Допустим, что $$a \cdot b$$ содержит множитель 23, то есть, оно равно 23. Это невозможно, так как a и b - цифры от 0 до 9, и их произведение не может быть 23.
Давай попробуем подобрать число, близкое к 46 (удвоенное 23). Предположим, что искомое число $$10a + b$$ равно 46. Тогда $$a = 4$$ и $$b = 6$$. Произведение цифр $$a \cdot b = 4 \cdot 6 = 24$$. Теперь проверим: $$46 \cdot 24 = 1104$$.

Получается, что число 46 удовлетворяет условию.

Ответ: 46