6 A 5 13 M E x 10 C y B

Рассмотрим рисунок.

Треугольник АЕВ подобен треугольнику АВС по двум углам (угол А - общий, углы АМЕ и АСВ - прямые).

Составим отношение подобия:

$$\frac{AM}{AC} = \frac{AE}{AB}$$ $$\frac{5}{5+10} = \frac{13-x}{13+y}$$ $$\frac{5}{15} = \frac{13-x}{13+y}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{13-x}{13+y}$$ $$13+y = 3(13-x)$$ $$13+y = 39 - 3x$$ $$y = 26 - 3x$$

Также треугольник MEC подобен треугольнику ABE (два угла).

$$\frac{ME}{AE} = \frac{MC}{AB}$$ $$\frac{x}{13} = \frac{10}{13+y}$$ $$x(13+y)=130$$

Подставим первое выражение во второе.

$$x(13+26-3x) = 130$$ $$x(39-3x)=130$$ $$39x - 3x^2 = 130$$ $$3x^2 - 39x + 130 = 0$$ $$x = \frac{39 \pm \sqrt{39^2 - 4 \cdot 3 \cdot 130}}{2 \cdot 3}$$ $$x = \frac{39 \pm \sqrt{1521 - 1560}}{6}$$

Выражение под корнем меньше нуля, то есть задача не имеет решений.

Вероятно, в условии есть ошибка.

Предположим, что длина АЕ=12.

Тогда:

$$\frac{AM}{AC} = \frac{AE}{AB}$$ $$\frac{5}{15} = \frac{12-x}{12+y}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{12-x}{12+y}$$ $$12+y = 3(12-x)$$ $$12+y = 36-3x$$ $$y = 24 - 3x$$

$$\frac{ME}{AE} = \frac{MC}{AB}$$ $$\frac{x}{12} = \frac{10}{12+y}$$ $$x(12+y)=120$$

Подставим первое выражение во второе.

$$x(12+24-3x) = 120$$ $$x(36-3x)=120$$ $$36x - 3x^2 = 120$$ $$3x^2 -36x +120 = 0$$ $$x^2 - 12x +40 = 0$$ $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 144-160 = -16$$

И в этом случае задача не имеет решений.

Предположим, что АЕ=15

$$\frac{5}{15} = \frac{15-x}{15+y}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{15-x}{15+y}$$ $$15+y = 45-3x$$ $$y = 30-3x$$ $$\frac{x}{15} = \frac{10}{15+y}$$ $$x(15+y) = 150$$ $$x(15+30-3x)=150$$ $$45x-3x^2=150$$ $$3x^2-45x+150=0$$ $$x^2-15x+50=0$$ $$x = \frac{15 \pm \sqrt{225-200}}{2}$$ $$x=\frac{15 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$x=\frac{15 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = 10, x_2=5$$

Если х=10, то y = 30 - 30 = 0 (не подходит).

Если х=5, то y = 30 - 15 = 15.

То есть Е - середина АВ и М - середина АС.

В этом случае DE - средняя линия треугольника АВС.

Ответ: Невозможно определить х и у, т.к. недостаточно данных.