Анализ выражения с радикалами.

Привет! Разбираемся с выражениями, содержащими корни.

Упрощение первого выражения:

Для первого выражения \[ \sqrt{\frac{30 - 5\sqrt{5}}{4 - \sqrt{6}}} \cdot \sqrt{6} \] выполним следующие шаги:

1. Умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на сопряжённое выражение к знаменателю: \[ 4 + \sqrt{6} \].
2. Тогда выражение станет: \[ \sqrt{\frac{(30 - 5\sqrt{5})(4 + \sqrt{6})}{(4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6})}} \cdot \sqrt{6} \]
3. Упростим знаменатель: \[ (4 - \sqrt{6})(4 + \sqrt{6}) = 16 - 6 = 10 \]
4. Выражение примет вид: \[ \sqrt{\frac{(30 - 5\sqrt{5})(4 + \sqrt{6})}{10}} \cdot \sqrt{6} \]
5. Дальнейшее упрощение может потребовать дополнительных преобразований, но без конкретных числовых значений сложно привести к более простому виду.

Упрощение второго выражения:

Для второго выражения \[ \frac{8}{3 + \sqrt{7}} + 3\sqrt{7} \] выполним следующие шаги:

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение к знаменателю: \[ 3 - \sqrt{7} \].
2. Тогда дробь станет: \[ \frac{8(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} + 3\sqrt{7} \]
3. Упростим знаменатель: \[ (3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7}) = 9 - 7 = 2 \]
4. Выражение примет вид: \[ \frac{8(3 - \sqrt{7})}{2} + 3\sqrt{7} = 4(3 - \sqrt{7}) + 3\sqrt{7} \]
5. Раскроем скобки: \[ 12 - 4\sqrt{7} + 3\sqrt{7} \]
6. Приведем подобные члены: \[ 12 - \sqrt{7} \]

Ответ: \[ 12 - \sqrt{7} \]

Упрощение третьего выражения:

Для третьего выражения \[ \frac{52}{4 + \sqrt{3}} + 4\sqrt{3} \] выполним аналогичные шаги:

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение к знаменателю: \[ 4 - \sqrt{3} \].
2. Тогда дробь станет: \[ \frac{52(4 - \sqrt{3})}{(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})} + 4\sqrt{3} \]
3. Упростим знаменатель: \[ (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 16 - 3 = 13 \]
4. Выражение примет вид: \[ \frac{52(4 - \sqrt{3})}{13} + 4\sqrt{3} = 4(4 - \sqrt{3}) + 4\sqrt{3} \]
5. Раскроем скобки: \[ 16 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \]

Ответ: 16