Аналог 22.6.3. Постройте график функции y=\frac{(x²+1)(x-2)}{2-x}. Определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. Ответ:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Упрощение функции

Заметим, что \(2 - x = -(x - 2)\). Тогда функцию можно переписать как: \[y = \frac{(x^2 + 1)(x - 2)}{-(x - 2)}\] При \(x ≠ 2\), можно сократить \((x - 2)\): \[y = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1, \quad x ≠ 2\]

• Шаг 2: Анализ функции и прямой

Мы получили параболу \(y = -x^2 - 1\) с выколотой точкой при \(x = 2\). Значение функции в этой точке равно \(y = -2^2 - 1 = -5\). Таким образом, на графике есть точка \((2, -5)\), которая отсутствует. Прямая \(y = kx\) проходит через начало координат.

• Шаг 3: Условие касания или пересечения в одной точке

Чтобы прямая \(y = kx\) имела с графиком ровно одну общую точку, нужно рассмотреть два случая:

• Прямая касается параболы в одной точке.
• Прямая проходит через выколотую точку \((2, -5)\).
• Шаг 4: Касание параболы

Для касания параболы и прямой, уравнение \(-x^2 - 1 = kx\) должно иметь одно решение. \[x^2 + kx + 1 = 0\] Дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю: \[D = k^2 - 4 = 0\] \[k^2 = 4\] \[k = ±2\]

• Шаг 5: Прямая через выколотую точку

Прямая \(y = kx\) проходит через точку \((2, -5)\), если: \[-5 = k \cdot 2\] \[k = -\frac{5}{2} = -2.5\]

• Шаг 6: Исключение повторений

Проверим, не проходит ли какая-либо из касательных прямых через выколотую точку. Подставим \(x=2\) в уравнения касательных \(y = 2x\) и \(y = -2x\):

• Для \(y = 2x\): \(y = 2 \cdot 2 = 4\) (не проходит через \((2, -5)\))
• Для \(y = -2x\): \(y = -2 \cdot 2 = -4\) (не проходит через \((2, -5)\))
• Шаг 7: Финальный ответ

Ответ: \(k = 2, k = -2, k = -2.5\)