Аналог 22.9.3. Постройте график функции y=x(x+1)-5г. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. Ответ:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразование функции

Рассмотрим функцию \( y = |x|(x+1) - 5x \). Необходимо рассмотреть два случая: когда \( x \geq 0 \) и когда \( x < 0 \).

• Шаг 2: Случай 1: \( x \geq 0 \)

Если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \). Тогда функция примет вид: \[ y = x(x+1) - 5x = x^2 + x - 5x = x^2 - 4x \] Это парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: \[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \] \[ y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \] Итак, вершина параболы в точке \( (2, -4) \).

• Шаг 3: Случай 2: \( x < 0 \)

Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \). Тогда функция примет вид: \[ y = -x(x+1) - 5x = -x^2 - x - 5x = -x^2 - 6x \] Это парабола, ветви направлены вниз. Найдем вершину параболы: \[ x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = -3 \] \[ y_v = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9 \] Итак, вершина параболы в точке \( (-3, 9) \).

• Шаг 4: Построение графика

Соединим обе части графика. Важно отметить, что при \( x = 0 \), \( y = 0 \) в обоих случаях. График состоит из двух парабол: одна с вершиной в \( (2, -4) \) при \( x \geq 0 \), и другая с вершиной в \( (-3, 9) \) при \( x < 0 \).

• Шаг 5: Анализ прямых \( y = m \)

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график ровно в двух точках.

• При \( m = -4 \) прямая касается параболы \( y = x^2 - 4x \) в её вершине и пересекает параболу \( y = -x^2 - 6x \) в двух точках.
• При \( m = 0 \) прямая \( y = 0 \) пересекает график в точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \).
• При \( m = 9 \) прямая касается параболы \( y = -x^2 - 6x \) в её вершине и не пересекает первую параболу, так как она находится ниже оси \( x \).
• При \( m > 9 \) прямая не пересекает ни одну из парабол.
• Шаг 6: Определение значений \( m \)

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( m = -4 \) и при \( m > 9 \). Покажем график функции и прямые y=m с двумя точками пересечения:

• График функции

Ответ: -4; m>9