Analyze the image and provide solutions for the geometry problems. Problem 5: A right-angled triangle with one angle 30 degrees. The hypotenuse is 10. The sides adjacent to the right angle are labeled x and y. Problem 6: A right-angled triangle with one angle 60 degrees. The side adjacent to the right angle is labeled 2. The other two sides are labeled x and y. Problem 7: A right-angled triangle with one angle 60 degrees. The side adjacent to the right angle is labeled 8. The other two sides are labeled x and y.

Задача 5

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 10 \) и одним острым углом \( \alpha = 30^{\circ} \). Найти катеты \( x \) и \( y \).

Используем тригонометрические соотношения:

1. Найдём катет \( y \), прилежащий к углу \( 30^{\circ} \):
   \( \cos(30^{\circ}) = \frac{y}{10} \)
   \( y = 10 \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \)
2. Найдём катет \( x \), противолежащий углу \( 30^{\circ} \):
   \( \sin(30^{\circ}) = \frac{x}{10} \)
   \( x = 10 \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \)

Ответ: \( x = 5 \), \( y = 5\sqrt{3} \).

Задача 6

Дан прямоугольный треугольник с катетом \( y = 2 \) и одним острым углом \( \alpha = 60^{\circ} \). Найти катет \( x \) и гипотенузу.

Второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

1. Найдём катет \( x \), прилежащий к углу \( 60^{\circ} \) (противолежащий углу \( 30^{\circ} \)):
   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{y}{x} \) - ошибка, \( y \) противолежит \( 60^{\circ} \).
   Правильно:
   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{y}{x} \) - нет, \( y \) лежит напротив \( 60^{\circ} \) по условию рисунка.
   Из рисунка видно, что \( y \) прилежит к углу \( 60^{\circ} \) и \( x \) противолежит \( 60^{\circ} \).
   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{x}{y} \)
   \( x = y \cdot \tan(60^{\circ}) = 2 \cdot \sqrt{3} \)
2. Найдём гипотенузу \( z \) (обозначим её \( z \), так как \( x \) уже занят):
   \( \cos(60^{\circ}) = \frac{y}{z} \)
   \( z = \frac{y}{\cos(60^{\circ})} = \frac{2}{1/2} = 4 \)

Ответ: \( x = 2\sqrt{3} \), гипотенуза равна 4.

Задача 7

Дан прямоугольный треугольник с катетом \( x = 8 \) и одним острым углом \( \alpha = 60^{\circ} \). Найти катет \( y \) и гипотенузу.

Второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

1. Найдём катет \( y \), прилежащий к углу \( 60^{\circ} \) (противолежащий углу \( 30^{\circ} \)):
   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{x}{y} \) - ошибка.
   Из рисунка видно, что \( x \) прилежит к углу \( 60^{\circ} \) и \( y \) противолежит \( 60^{\circ} \).
   \( \tan(60^{\circ}) = \frac{y}{x} \)
   \( y = x \cdot \tan(60^{\circ}) = 8 \cdot \sqrt{3} \)
2. Найдём гипотенузу \( z \) (обозначим её \( z \), так как \( y \) уже занят):
   \( \cos(60^{\circ}) = \frac{x}{z} \)
   \( z = \frac{x}{\cos(60^{\circ})} = \frac{8}{1/2} = 16 \)

Ответ: \( y = 8\sqrt{3} \), гипотенуза равна 16.