Analyze the image and provide the result of the expression.

Разбираемся:

Необходимо найти предел выражения:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{1 + \cos(\pi x)}{tg^2(\pi x)} \]

Пошаговое решение:

1. Применим правило Лопиталя, взяв производную числителя и знаменателя:

Производная числителя:

\[ \frac{d}{dx}(1 + \cos(\pi x)) = -\pi \sin(\pi x) \]

Производная знаменателя:

\[ \frac{d}{dx}(tg^2(\pi x)) = 2tg(\pi x) \cdot \frac{1}{\cos^2(\pi x)} \cdot \pi = \frac{2\pi \sin(\pi x)}{\cos^3(\pi x)} \]

2. Теперь предел примет вид:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{-\pi \sin(\pi x)}{\frac{2\pi \sin(\pi x)}{\cos^3(\pi x)}} = \lim_{x \to 1} \frac{-\pi \sin(\pi x) \cdot \cos^3(\pi x)}{2\pi \sin(\pi x)} \]

3. Сокращаем \(\pi \sin(\pi x)\) в числителе и знаменателе:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{-\cos^3(\pi x)}{2} \]

4. Подставляем \(x = 1\):

\[ \frac{-\cos^3(\pi)}{2} = \frac{-(-1)^3}{2} = \frac{-(-1)}{2} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \(\frac{1}{2}\)