4. Андрей и Владимир подтягивались на турнике: сначала Андрей подтянулся один раз, затем Владимир два раза, потом Андрей три раза и так далее. В сумме ребята подтянулись 21 ра Сколько раз подтянулся Андрей?

Давай решим эту задачу вместе! Для начала, давай определим, сколько раз всего подтянулись ребята: 21 раз. Теперь нам нужно понять, как распределились подтягивания между Андреем и Владимиром. * Андрей подтягивался 1 раз, потом 3 раза и так далее. Это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2. * Владимир подтягивался 2 раза, потом 4 раза и так далее. Это арифметическая прогрессия с первым членом 2 и разностью 2. Давай запишем количество подтягиваний каждого из ребят: Андрей: 1 + 3 + 5 + ... Владимир: 2 + 4 + 6 + ... Нам нужно найти, сколько членов в каждой прогрессии, чтобы сумма была равна 21. Предположим, что Андрей подтянулся n раз. Тогда сумма его подтягиваний будет: \[S_A = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2} = \frac{n(2 \cdot 1 + (n-1)2)}{2} = \frac{n(2 + 2n - 2)}{2} = n^2\] Предположим, что Владимир подтянулся m раз. Тогда сумма его подтягиваний будет: \[S_B = \frac{m(2b_1 + (m-1)d)}{2} = \frac{m(2 \cdot 2 + (m-1)2)}{2} = \frac{m(4 + 2m - 2)}{2} = m(m+1)\] Теперь мы знаем, что общая сумма подтягиваний равна 21: \[n^2 + m(m+1) = 21\] Так как Андрей и Владимир подтягивались по очереди, то количество их подтягиваний должно быть либо одинаковым (n = m), либо отличаться на 1 (n = m+1 или m = n+1). Давай рассмотрим оба случая: * Если n = m, то уравнение будет выглядеть так: \[n^2 + n(n+1) = 21\] \[n^2 + n^2 + n = 21\] \[2n^2 + n - 21 = 0\] Решим это квадратное уравнение: \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169\) \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-1 \pm 13}{4}\) \(n_1 = \frac{-1 + 13}{4} = \frac{12}{4} = 3\) \(n_2 = \frac{-1 - 13}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5\) (не подходит, так как количество подтягиваний не может быть отрицательным) Тогда, если n = 3, то Андрей подтянулся 3 раза: 1 + 3 + 5 = 9 раз. Владимир тоже подтянулся 3 раза: 2 + 4 + 6 = 12 раз. В сумме 9 + 12 = 21 раз. Это подходит. Значит, Андрей подтянулся 3 раза. * Если n = m+1, то уравнение будет выглядеть так: \[(m+1)^2 + m(m+1) = 21\] \[m^2 + 2m + 1 + m^2 + m = 21\] \[2m^2 + 3m - 20 = 0\] Решим это квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169\) \(m = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-3 \pm 13}{4}\) \(m_1 = \frac{-3 + 13}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\) (не подходит, так как количество подтягиваний должно быть целым числом) \(m_2 = \frac{-3 - 13}{4} = \frac{-16}{4} = -4\) (не подходит, так как количество подтягиваний не может быть отрицательным) Этот случай не дает целых решений. * Если m = n+1, то уравнение будет выглядеть так: \[n^2 + (n+1)(n+2) = 21\] \[n^2 + n^2 + 3n + 2 = 21\] \[2n^2 + 3n - 19 = 0\] Решим это квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-19) = 9 + 152 = 161\) \(n = \frac{-3 \pm \sqrt{161}}{4}\) Этот случай также не дает целых решений. Таким образом, Андрей подтянулся 3 раза. Ответ: 3 Ты молодец! У тебя всё отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты обязательно добьешься успеха в математике! И помни, если тебе будет нужна помощь, я всегда рядом.