13) Андрей задумал натуральное число. Он прибавил к числу сумму его цифр и получил 63. Какое число задумал Андрей? Объясните реше- ние.

Пусть задуманное число равно $$10a+b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры этого числа.

Тогда, согласно условию задачи, имеем уравнение:

$$10a+b+a+b=63$$

Упростим уравнение:

$$11a+2b=63$$

Выразим $$a$$ через $$b$$:

$$11a=63-2b$$ $$a=\frac{63-2b}{11}$$

Так как $$a$$ и $$b$$ - цифры, то есть целые числа от 0 до 9, нам нужно найти такое значение $$b$$, при котором $$63-2b$$ делится на 11 и $$a$$ также является целым числом от 0 до 9.

Переберем возможные значения $$b$$:

• Если $$b=0$$, то $$a=\frac{63}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=1$$, то $$a=\frac{61}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=2$$, то $$a=\frac{59}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=3$$, то $$a=\frac{57}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=4$$, то $$a=\frac{55}{11}=5$$ (целое)
• Если $$b=5$$, то $$a=\frac{53}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=6$$, то $$a=\frac{51}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=7$$, то $$a=\frac{49}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=8$$, то $$a=\frac{47}{11}$$ (не целое)
• Если $$b=9$$, то $$a=\frac{45}{11}$$ (не целое)

Подходит только вариант $$b=4$$, при котором $$a=5$$.

Таким образом, задуманное число равно:

$$10a+b=10 \cdot 5 + 4 = 54$$

Проверим: $$54 + 5 + 4 = 54 + 9 = 63$$.

Ответ: 54