Андрей записал у себя в тетради двузначное натуральное число. Борис посмотрел на это число и записал себе в тетрадь некоторый его делитель. Виктор также посмотрел на число Андрея и записал себе в тетрадь некоторый его делитель. Гриша перемножил числа Бориса и Виктора, получив в произведении число 75. Найдите все возможные числа, которые мог записать Андрей.

Пусть число, которое записал Андрей, равно $$A$$. Борис записал делитель числа $$A$$, назовем его $$B$$. Виктор также записал делитель числа $$A$$, назовем его $$V$$. Гриша перемножил числа $$B$$ и $$V$$ и получил 75. То есть, $$B \cdot V = 75$$. Разложим 75 на простые множители: $$75 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 25 = 5 \cdot 15$$. Таким образом, возможные пары делителей, произведение которых равно 75, это: 1. $$B = 1, V = 75$$ 2. $$B = 3, V = 25$$ 3. $$B = 5, V = 15$$ Так как $$B$$ и $$V$$ - делители числа $$A$$, то $$A$$ должно делиться на оба этих числа. Рассмотрим каждый случай: 1. $$B = 1, V = 75$$. В этом случае, $$A$$ должно делиться на 75. Двузначные числа, делящиеся на 75, это только 75. Значит, $$A = 75$$. 2. $$B = 3, V = 25$$. В этом случае, $$A$$ должно делиться и на 3, и на 25. Числа, делящиеся на 25: 25, 50, 75, 100 и т.д. Из них на 3 делится только 75. Значит, $$A = 75$$. 3. $$B = 5, V = 15$$. В этом случае, $$A$$ должно делиться и на 5, и на 15. Это означает, что $$A$$ должно делиться на 15. Двузначные числа, делящиеся на 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Проверим, может ли $$A$$ быть одним из этих чисел: * Если $$A = 15$$, то $$B$$ и $$V$$ могут быть 5 и 3, их произведение 15, а не 75. Поэтому $$A$$ не может быть 15. * Если $$A = 30$$, то $$B$$ и $$V$$ могут быть 5 и 6, их произведение 30, а не 75. Поэтому $$A$$ не может быть 30. * Если $$A = 45$$, то $$B$$ и $$V$$ могут быть 5 и 9, их произведение 45, а не 75. Поэтому $$A$$ не может быть 45. * Если $$A = 60$$, то $$B$$ и $$V$$ могут быть 5 и 12, их произведение 60, а не 75. Поэтому $$A$$ не может быть 60. * Если $$A = 75$$, то $$B$$ и $$V$$ могут быть 5 и 15, их произведение 75. Поэтому $$A$$ может быть 75. * Если $$A = 90$$, то $$B$$ и $$V$$ могут быть 5 и 18, их произведение 90, а не 75. Поэтому $$A$$ не может быть 90. Единственное возможное число, которое мог записать Андрей, это 75. Ответ: 75