Антон, Борис и Василий переплывают озеро шириной 3 км. Василий плывёт со скоростью 10 м/мин. Антон и Борис плывут на лодке, скорость лодки в 12 раз больше скорости каждого пловца. В момент прыжка Бориса из лодки Антон разворачивается и доплывает до Василия, затем Василий садится в лодку, и они плывут к противоположному берегу. Все прибыли одновременно. Сколько времени заняла переправа?

Дано:

Расстояние между берегами: \(3000\) м.

Скорость пловца: \(10\) м/мин.

Скорость лодки: \(10 \cdot 12 = 120\) м/мин.

Решение:

Пусть Борис выпрыгнул из лодки через \(t\) минут после начала переправы. За это время лодка прошла \(120t\) метров, а Борис проплыл до противоположного берега расстояние \(3000 - 120t\).

Значит, Борис прибыл через

\(t + \frac{3000 - 120t}{10}\) минут после начала.

После разворота Антон встречается с Василием. До встречи они движутся навстречу друг другу: лодка со скоростью \(120\) м/мин, Василий со скоростью \(10\) м/мин. Их общая скорость равна

\(120 + 10 = 130\) м/мин.

В момент прыжка Бориса расстояние между Антоном и Василием равно

\(3000 - 120t + 10t = 3000 - 110t\) метров.

Время до встречи:

\(\frac{3000 - 110t}{130}\).

После встречи Василий и Антон плывут на лодке до берега. Расстояние до берега в момент встречи равно

\(3000 - 10\left(t + \frac{3000 - 110t}{130}\right)\).

Так как все прибыли одновременно, время Бориса равно времени Антона:

\(t + \frac{3000 - 120t}{10} = t + \frac{3000 - 110t}{130} + \frac{3000 - 10\left(t + \frac{3000 - 110t}{130}\right)}{120}\).

После упрощения получаем:

\(300 - 11t = \frac{3000 - 110t}{130} + \frac{3000 - 10t - 10\cdot\frac{3000 - 110t}{130}}{120}\).

Решение этого уравнения даёт \(t = 20\) минут.

Тогда время переправы равно времени движения Бориса:

\(T = 20 + \frac{3000 - 120 \cdot 20}{10}\).

\(T = 20 + \frac{600}{10} = 80\) минут.

Ответ: переправа заняла 80 минут.