15. Антон разрезал лист бумаги на 4 куска. Потом он выбрал один из полученных кусков бумаги и его тоже разрезал на 4 куска, и так далее. Через полчаса у него получилось больше 62, но меньше 67 кусков бумаги. Сколько точно кусков бумаги у него получилось через полчаса?

Решение: Пусть x - количество раз, которое Антон разрезал кусок бумаги. Каждый раз, когда он разрезает один кусок на 4, количество кусков увеличивается на 3 (4-1=3). Изначально у него был 1 кусок. После первого разреза он получил 4 куска. После второго 7, и так далее. Общее количество кусков можно выразить формулой: \[1 + 3x\] Нам известно, что количество кусков больше 62, но меньше 67. \[62 < 1 + 3x < 67\] Вычтем 1 из всех частей неравенства: \[61 < 3x < 66\] Разделим все части неравенства на 3: \[\frac{61}{3} < x < \frac{66}{3}\] \[20.33 < x < 22\] Так как x - целое число (количество разрезов), то x может быть только 21. Теперь найдем количество кусков: \[1 + 3 \cdot 21 = 1 + 63 = 64\] Ответ: 64