Антошина Котя ④ lg (x-1) <(x²-1) (93 27 9 10 11 1 - 8 67

Решение:

• Данное неравенство:

  \[ \lg(x-1) \le \lg(x^2-1) \]

• ОДЗ (Область допустимых значений):
  • Для того чтобы логарифм был определён, аргумент должен быть строго больше нуля.
  • 1) \( x-1 > 0 \implies x > 1 \)
  • 2) \( x^2-1 > 0 \implies (x-1)(x+1) > 0 \). Так как \( x > 1 \), то \( x-1 > 0 \) и \( x+1 > 0 \), что удовлетворяет условию.
  • Итак, ОДЗ: \( x > 1 \).
• Решение неравенства:
  • Так как основание логарифма (10) больше 1, то при раскрытии логарифма знак неравенства сохраняется:

  • \[ x-1 \le x^2-1 \]

  • \[ x \le x^2 \]

  • \[ x^2 - x \ge 0 \]

  • \[ x(x-1) \ge 0 \]

  • Решения данного неравенства: \( x \le 0 \) или \( x \ge 1 \).
• Пересечение с ОДЗ:
• • Нам нужно найти пересечение решений \( (x \le 0) \cup (x \ge 1) \) с ОДЗ \( x > 1 \).
  • Пересечением будет \( x > 1 \).

Финальный ответ:

Ответ: \( x > 1 \)