Решение задачи

1. Рассмотрим треугольник ABO.

2. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, угол ABO равен 90 градусов ($$\angle ABO = 90^{\circ}$$).

3. Рассмотрим треугольник ABO. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Так как угол AOB равен 60 градусам ($$\angle AOB = 60^{\circ}$$), а угол ABO равен 90 градусам ($$\angle ABO = 90^{\circ}$$), то угол BAO равен: $$\angle BAO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$

4. В прямоугольном треугольнике (ABO), катет (AB), лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы (AO): $$AB = \frac{1}{2}AO$$

5. Выразим AO через AB: $$AO = 2AB = 2 \cdot 8 = 16$$

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. По теореме Пифагора: $$AO^2 = AB^2 + BO^2$$. Выразим BO: $$BO = \sqrt{AO^2 - AB^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$

Ответ: $$AO = 16$$, $$BO = 8\sqrt{3}$$