3. AO: OC=5:3 AD = ? 4. S_{PBQ} = 15 S_{ABC} =?

Задача 3

Давай решим задачу 3. Нам дано, что \( AO : OC = 5 : 3 \) и нужно найти \( AD \), если \( BC = 12 \).

Так как \( AO : OC = 5 : 3 \), то \( OC = \frac{3}{5} AO \). Треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \) подобны по двум углам (вертикальные углы при точке \( O \) и накрест лежащие углы при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \)).

Отношение сторон в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия. Значит, \( \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} \). Подставим известные значения: \( \frac{12}{AD} = \frac{3}{5} \).

Выразим \( AD \): \( AD = \frac{12 \cdot 5}{3} = \frac{60}{3} = 20 \).

Ответ: AD = 20

Задача 4

Теперь давай решим задачу 4. Нам известно, что площадь треугольника \( \triangle PBQ \) равна 15, и нужно найти площадь треугольника \( \triangle ABC \), если \( PQ \) параллельна \( AC \).

Поскольку \( PQ \parallel AC \), треугольники \( \triangle PBQ \) и \( \triangle ABC \) подобны. Пусть \( k \) — коэффициент подобия, то есть \( k = \frac{PB}{AB} = \frac{BQ}{BC} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть \( \frac{S_{PBQ}}{S_{ABC}} = k^2 \).

Нам нужно найти \( S_{ABC} \). Известно, что \( S_{PBQ} = 15 \. Тогда \( \frac{15}{S_{ABC}} = k^2 \).

Предположим, что \( PB = \frac{1}{2} AB \), тогда \( k = \frac{1}{2} \). Значит, \( k^2 = \frac{1}{4} \).

Тогда \( \frac{15}{S_{ABC}} = \frac{1}{4} \), следовательно, \( S_{ABC} = 15 \cdot 4 = 60 \).

Ответ: S_{ABC} = 60