AP = 7, BC = 15, HB = 8. Find the perimeter of triangle ABC.

Решение:

• Дан треугольник ABC, в который вписана окружность. Точки касания окружности со сторонами треугольника обозначены как P, E, H.
• Известно, что AP = 7. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то AH = AP = 7.
• Также известно, что HB = 8. Тогда BC = BE + EC = 15. (Примечание: в условии указано HB=8, но на рисунке точка H находится на стороне AB, а не на BC. Предполагается, что H - точка касания на стороне AB).
• Если H - точка касания на AB, то BH = BE = 8.
• Так как BC = 15 и BE = 8, то EC = BC - BE = 15 - 8 = 7.
• Так как EC = 7, то AC = AH + HC. (Примечание: на рисунке точка E находится на стороне BC, а точка H на стороне AB. Точка P на стороне AC. Это противоречит условию HB=8. Будем исходить из стандартного обозначения точек касания, где P на AC, E на BC, H на AB. Тогда AP=AH, BP=BE, CE=CH).
• Исходя из рисунка и условия AP=7, HB=8, BC=15:
• AP = AH = 7 (касательные из A)
• BH = BE = 8 (касательные из B)
• CE = CH = BC - BE = 15 - 8 = 7 (касательные из C)
• Стороны треугольника:
• AB = AH + HB = 7 + 8 = 15
• BC = BE + EC = 8 + 7 = 15
• AC = AH + HC = 7 + 7 = 14
• Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC = 15 + 15 + 14 = 44

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 44.