2. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60°. Найти объём пирамиды.

Для решения этой задачи, нам потребуется вспомнить свойства правильной четырёхугольной пирамиды и использовать тригонометрические функции. 1. **Определение параметров:** * Пусть $$s$$ - длина стороны основания пирамиды, а $$h$$ - высота пирамиды. * Апофема ($$a$$) - это высота боковой грани пирамиды, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания, и в данном случае $$a = 3$$ см. * Плоский угол при вершине $$60°$$ означает, что угол между апофемами, проведёнными к смежным сторонам основания, равен $$60°$$. 2. **Связь между апофемой, высотой и стороной основания:** * Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $$h$$, половиной стороны основания $$\frac{s}{2}$$ и апофемой $$a$$. * Угол между апофемой и её проекцией на основание (половиной стороны основания) равен половине плоского угла при вершине, то есть $$30°$$. 3. **Использование тригонометрии:** * Используем тангенс угла $$30°$$: $$\tan(30°) = \frac{\frac{s}{2}}{h} = \frac{s}{2h}$$. * Также рассмотрим треугольник, образованный апофемой, высотой и половиной стороны основания. Здесь можно воспользоваться соотношением: $$\cos(30°) = \frac{\frac{s}{2}}{a} = \frac{s}{2a}$$. * Из этого следует, что $$s = 2a \cos(30°) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см. 4. **Нахождение высоты пирамиды:** * Теперь, зная сторону основания, найдём высоту $$h$$. Из $$\tan(30°) = \frac{s}{2h}$$ выразим $$h$$: $$h = \frac{s}{2 \tan(30°)} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$ см. 5. **Вычисление объёма пирамиды:** * Объём пирамиды $$V$$ вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$$, где $$S_{осн}$$ - площадь основания пирамиды. * Площадь основания (квадрата) равна $$S_{осн} = s^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$$ см$$^2$$. * Тогда объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 4.5 = 9 \cdot 4.5 = 40.5$$ см$$^3$$. **Ответ: Объем пирамиды равен 40.5 см³**