Апофема правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF равна 7. Радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему: $$S_{бок} = \frac{1}{2} imes P_{осн} imes a$$. Так как радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен $$r = rac{\sqrt{3}}{2} imes s$$, где $$s$$ - сторона шестиугольника, то $$3 = \frac{\sqrt{3}}{2} imes s$$, откуда $$s = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$. Периметр основания $$P_{осн} = 6s = 6 imes 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$. Площадь боковой поверхности $$S_{бок} = \frac{1}{2} imes 12\sqrt{3} imes 7 = 42\sqrt{3}$$.
2. Площадь основания правильного шестиугольника равна $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} imes s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} imes (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} imes 12 = 18\sqrt{3}$$.
3. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: $$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 42\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$$.