4 Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а плоский угол при вершине 90. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Решение:

• Плоский угол при вершине равен 90°, следовательно, боковые грани – равнобедренные прямоугольные треугольники.
• Пусть сторона основания равна a, тогда боковое ребро равно a.
• Апофема (высота боковой грани) равна \( \frac{a}{\sqrt{2}} = 6 \) см.
• Отсюда, сторона основания \( a = 6\sqrt{2} \) см.
• Периметр основания равен \( 3a = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \) см.
• Площадь боковой поверхности \( S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 6 = 54\sqrt{2} \) см².

Ответ: \( 54\sqrt{2} \) см².