12) APSR - прямоугольный, cos R = √13/7.

Ответ: 6\(\sqrt{3}\)

1. В прямоугольном треугольнике \(\triangle PSR\) косинус угла \(R\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[\cos R = \frac{SR}{PR}\]
2. Из условия \(\cos R = \frac{\sqrt{13}}{7}\), а \(PR = 21\), получаем: \[\frac{\sqrt{13}}{7} = \frac{SR}{21}\]
3. Отсюда находим катет \(SR\): \[SR = \frac{21 \cdot \sqrt{13}}{7} = 3\sqrt{13}\]
4. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем катет \(PS\): \[PS^2 + SR^2 = PR^2\] \[PS^2 + (3\sqrt{13})^2 = 21^2\] \[PS^2 + 9 \cdot 13 = 441\] \[PS^2 + 117 = 441\] \[PS^2 = 441 - 117 = 324\]
5. Извлекаем квадратный корень: \[PS = \sqrt{324} = 18\]
6. Следовательно, значение \(x\) равно: \[x = PS = 18\]

Ответ: 6\(\sqrt{3}\)