A равнобедренного треугольника ABC c основанием ВС, пересекла серединный перпендикуляр к стороне АС в точке О. Найдите ВО, если АО = 10 см.

Логика такая: Серединный перпендикуляр к стороне равнобедренного треугольника является также и медианой, поэтому точка O делит сторону AC пополам.

Решение:

Поскольку серединный перпендикуляр к стороне AC проходит через точку O, то AO = OC. Так как нам дано, что AO = 10 см, то и OC = 10 см.

Так как в равнобедренном треугольнике ABC медиана, проведенная к основанию BC, также является и высотой, то треугольник ABO - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ABO:

• AO = 10 см (катет)
• BO = ? (гипотенуза)

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[BO^2 = AO^2 + AB^2\]

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC.

Рассмотрим треугольники ABO и BCO. У них:

• BO - общая сторона
• AO = OC (как половинки стороны AC)
• Угол AOB = углу COB (так как BO - высота и медиана)

Следовательно, треугольники ABO и BCO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Значит, AB = BC, и следовательно, треугольник ABO - равнобедренный, и BO = AO = 10 см.

Ответ: BO = 10 см.