7.4. АРХИМЕДОВА СИЛА ВАРИАНТ 3 I 1. Чему равна архимедова сила, действующая на алюми- ниевый брусок объемом 125 см³, если он на 1/5 часть свое- го объема погружен в спирт? 2. На тело объемом 1 дм³ при погружении в жидкость действует выталкивающая сила 10 Н. Какая это жид- кость? 3. Сколько весит в воде алюминиевая деталь массой 135 г и объемом 25 см³? II 4. Тело объемом 5 дм² имеет массу 5 кг. Утонет ли это те- ло в керосине? 5. Сколько весит в воде чугунная гиря объемом 1 дм³? 6. Погрузится ли целиком в воду льдина площалью 2 м² и толщиной 100 см, если на нее встанет человек массой 60 кг? III 7. Какой массы груз можно переправить с помощью пло- та на другой берег, если плот состоит из пятнадцати сосно- вых бревен? Объем каждого бревна равен 0,8 м³. 8. Полый медный шар плавает в воде при полном погру жении. Чему равна масса шара, если объем воздушной по- лости равен 17,75 см³? 19

Задача 1:

Дано:

• Объем бруска, $$V = 125 \text{ см}^3 = 125 \times 10^{-6} \text{ м}^3$$
• Погруженная часть, $$V_{\text{погр}} = \frac{1}{5} V$$
• Плотность спирта, $$\rho_{\text{спирта}} = 800 \text{ кг/м}^3$$

Найти: Архимедова сила, $$F_A$$

Решение:

Архимедова сила определяется формулой: \[ F_A = \rho_{\text{спирта}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}} \] где $$g = 9.8 \text{ м/с}^2$$ (ускорение свободного падения).

Подставляем значения: \[ V_{\text{погр}} = \frac{1}{5} \cdot 125 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 25 \times 10^{-6} \text{ м}^3 \] \[ F_A = 800 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.196 \text{ Н} \]

Ответ: 0.196 Н

Задача 2:

Дано:

• Объем тела, $$V = 1 \text{ дм}^3 = 0.001 \text{ м}^3$$
• Архимедова сила, $$F_A = 10 \text{ Н}$$

Найти: Плотность жидкости, $$\rho_{\text{жидкости}}$$

Решение:

Используем формулу Архимедовой силы: \[ F_A = \rho_{\text{жидкости}} \cdot g \cdot V \] Отсюда: \[ \rho_{\text{жидкости}} = \frac{F_A}{g \cdot V} = \frac{10 \text{ Н}}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.001 \text{ м}^3} \approx 1020 \text{ кг/м}^3 \]

Это близко к плотности морской воды.

Ответ: Морская вода

Задача 3:

Дано:

• Масса детали, $$m = 135 \text{ г} = 0.135 \text{ кг}$$
• Объем детали, $$V = 25 \text{ см}^3 = 25 \times 10^{-6} \text{ м}^3$$
• Плотность алюминия, $$\rho_{\text{алюминия}} = 2700 \text{ кг/м}^3$$
• Плотность воды, $$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$$

Найти: Вес в воде, $$P_{\text{в воде}}$$

Решение:

Вес в воде равен разнице между весом в воздухе и архимедовой силой: \[ P_{\text{в воде}} = P - F_A \]

Вес в воздухе: \[ P = m \cdot g = 0.135 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 1.323 \text{ Н} \]

Архимедова сила: \[ F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.245 \text{ Н} \]

Вес в воде: \[ P_{\text{в воде}} = 1.323 \text{ Н} - 0.245 \text{ Н} = 1.078 \text{ Н} \]

Ответ: 1.078 Н

Задача 4:

Дано:

• Объем тела, $$V = 5 \text{ дм}^3 = 0.005 \text{ м}^3$$
• Масса тела, $$m = 5 \text{ кг}$$
• Плотность керосина, $$\rho_{\text{керосина}} = 800 \text{ кг/м}^3$$

Решение:

Плотность тела: \[ \rho_{\text{тела}} = \frac{m}{V} = \frac{5 \text{ кг}}{0.005 \text{ м}^3} = 1000 \text{ кг/м}^3 \]

Так как плотность тела (1000 кг/м³) больше плотности керосина (800 кг/м³), тело утонет в керосине.

Ответ: Утонет

Задача 5:

Дано:

• Объем гири, $$V = 1 \text{ дм}^3 = 0.001 \text{ м}^3$$
• Плотность чугуна, $$\rho_{\text{чугуна}} = 7200 \text{ кг/м}^3$$
• Плотность воды, $$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$$

Найти: Вес в воде, $$P_{\text{в воде}}$$

Решение:

Вес в воздухе: \[ P = m \cdot g = \rho_{\text{чугуна}} \cdot V \cdot g = 7200 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.001 \text{ м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 70.56 \text{ Н} \]

Архимедова сила: \[ F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.001 \text{ м}^3 = 9.8 \text{ Н} \]

Вес в воде: \[ P_{\text{в воде}} = P - F_A = 70.56 \text{ Н} - 9.8 \text{ Н} = 60.76 \text{ Н} \]

Ответ: 60.76 Н

Задача 6:

Дано:

• Площадь льдины, $$S = 2 \text{ м}^2$$
• Толщина льдины, $$h = 100 \text{ см} = 1 \text{ м}$$
• Масса человека, $$m_{\text{чел}} = 60 \text{ кг}$$
• Плотность льда, $$\rho_{\text{льда}} = 900 \text{ кг/м}^3$$
• Плотность воды, $$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$$

Решение:

Объем льдины: \[ V_{\text{льда}} = S \cdot h = 2 \text{ м}^2 \cdot 1 \text{ м} = 2 \text{ м}^3 \]

Масса льдины: \[ m_{\text{льда}} = \rho_{\text{льда}} \cdot V_{\text{льда}} = 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \text{ м}^3 = 1800 \text{ кг} \]

Полная масса (льдина + человек): \[ m_{\text{общая}} = m_{\text{льда}} + m_{\text{чел}} = 1800 \text{ кг} + 60 \text{ кг} = 1860 \text{ кг} \]

Архимедова сила, необходимая для поддержания льдины и человека: \[ F_A = m_{\text{общая}} \cdot g = 1860 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 18228 \text{ Н} \]

Объем воды, вытесненный льдиной для поддержания себя и человека: \[ V_{\text{вытесн}} = \frac{F_A}{\rho_{\text{воды}} \cdot g} = \frac{18228 \text{ Н}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = 1.86 \text{ м}^3 \]

Так как $$V_{\text{вытесн}} = 1.86 \text{ м}^3 < V_{\text{льда}} = 2 \text{ м}^3$$, льдина не погрузится целиком в воду.

Ответ: Не погрузится целиком

Задача 7:

Дано:

• Количество бревен, $$n = 15$$
• Объем каждого бревна, $$V_{\text{бревна}} = 0.8 \text{ м}^3$$
• Плотность сосны, $$\rho_{\text{сосны}} = 400 \text{ кг/м}^3$$
• Плотность воды, $$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$$

Найти: Масса груза, $$m_{\text{груза}}$$

Решение:

Общая масса бревен: \[ m_{\text{бревен}} = n \cdot \rho_{\text{сосны}} \cdot V_{\text{бревна}} = 15 \cdot 400 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.8 \text{ м}^3 = 4800 \text{ кг} \]

Архимедова сила, действующая на все бревна (вес вытесненной воды): \[ F_A = n \cdot V_{\text{бревна}} \cdot \rho_{\text{воды}} \cdot g = 15 \cdot 0.8 \text{ м}^3 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 117600 \text{ Н} \]

Вес груза, который может выдержать плот: \[ P_{\text{груза}} = F_A - m_{\text{бревен}} \cdot g = 117600 \text{ Н} - 4800 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 117600 \text{ Н} - 47040 \text{ Н} = 70560 \text{ Н} \]

Масса груза: \[ m_{\text{груза}} = \frac{P_{\text{груза}}}{g} = \frac{70560 \text{ Н}}{9.8 \text{ м/с}^2} = 7200 \text{ кг} \]

Ответ: 7200 кг

Задача 8:

Дано:

• Объем воздушной полости, $$V_{\text{возд}} = 17.75 \text{ см}^3 = 17.75 \times 10^{-6} \text{ м}^3$$
• Плотность меди, $$\rho_{\text{меди}} = 8900 \text{ кг/м}^3$$
• Плотность воды, $$\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$$

Найти: Масса шара, $$m_{\text{шара}}$$

Решение:

Пусть $$V_{\text{шара}}$$ - общий объем шара, тогда объем меди: \[ V_{\text{меди}} = V_{\text{шара}} - V_{\text{возд}} \]

Шар плавает, когда его вес равен архимедовой силе: \[ m_{\text{шара}} \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{шара}} \cdot g \]

Масса шара: \[ m_{\text{шара}} = \rho_{\text{меди}} \cdot V_{\text{меди}} = \rho_{\text{меди}} \cdot (V_{\text{шара}} - V_{\text{возд}}) \]

Подставляем массу шара в уравнение плавания: \[ \rho_{\text{меди}} \cdot (V_{\text{шара}} - V_{\text{возд}}) \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{шара}} \cdot g \]

Сокращаем $$g$$ и выражаем $$V_{\text{шара}}$$: \[ \rho_{\text{меди}} \cdot V_{\text{шара}} - \rho_{\text{меди}} \cdot V_{\text{возд}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{шара}} \]

\[ V_{\text{шара}} = \frac{\rho_{\text{меди}} \cdot V_{\text{возд}}}{\rho_{\text{меди}} - \rho_{\text{воды}}} = \frac{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 17.75 \times 10^{-6} \text{ м}^3}{8900 \text{ кг/м}^3 - 1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{8900 \cdot 17.75 \times 10^{-6}}{7900} \text{ м}^3 \approx 20.0 \times 10^{-6} \text{ м}^3 \]

Масса шара: \[ m_{\text{шара}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{шара}} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 20.0 \times 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.02 \text{ кг} = 20 \text{ г} \]

Ответ: 0.02 кг или 20 г