ариант 2 1. Прямая FM проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна его сторонам MN и ML. Докажите перпендикулярность плоскостей: FML и MNK. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим снованием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=√31 см, АВ=6 1, ∠ACB=60°. 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; магональ параллелепипеда равна 2√6 см, а его измерения относятся как 1: 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его нования. 4. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведен оскость а на расстоянии a 2 от точки В. а) Найдите расстояние от точки С до плоскости а. б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла BADM, М

Задание 1

Т.к. FM проходит через вершину прямоугольника MNKL и перпендикулярна сторонам MN и ML, то FM перпендикулярна плоскости MNK. Поскольку FM лежит в плоскости FML, то плоскости FML и MNK перпендикулярны.

Задание 2

Пусть AC = x. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos(\angle ACB)\]

Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то BC = AC = x, следовательно:

\[6^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot cos(60^\circ)\] \[36 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[36 = 2x^2 - x^2\] \[x^2 = 36\] \[x = 6\]

Итак, AC = 6 см.

Рассмотрим треугольник ACD. Т.к. плоскости ABD и ABC перпендикулярны, то AD перпендикулярна AC. Тогда треугольник ACD — прямоугольный, и по теореме Пифагора:

\[CD^2 = AD^2 + AC^2\] \[CD^2 = (\sqrt{31})^2 + 6^2\] \[CD^2 = 31 + 36\] \[CD^2 = 67\] \[CD = \sqrt{67}\]

Ответ: CD = √67 см

Задание 3

Пусть измерения параллелепипеда a, a и 2a, где a - сторона квадрата в основании.

Диагональ параллелепипеда равна \[2\sqrt{6}\] см. Тогда по теореме Пифагора:

\[(2\sqrt{6})^2 = a^2 + a^2 + (2a)^2\] \[24 = a^2 + a^2 + 4a^2\] \[24 = 6a^2\] \[a^2 = 4\] \[a = 2\]

a) Измерения параллелепипеда: 2 см, 2 см, 4 см.

б) Найдем синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания. Пусть d - диагональ основания.

\[d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

Синус угла α между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен отношению высоты к диагонали параллелепипеда:

\[sin(\alpha) = \frac{2a}{2\sqrt{6}} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: a) 2 см, 2 см, 4 см; б) \[\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Задание 4

а) Расстояние от точки С до плоскости α равно расстоянию от точки B до плоскости α, т.к. ABCD - квадрат и AD лежит в плоскости α.

Расстояние от точки B до плоскости α равно \[\frac{a}{2}\]

Следовательно, расстояние от точки С до плоскости α равно \[\frac{a}{2}\]

б) Линейный угол двугранного угла BADM — это угол между перпендикулярами, проведенными из точки A к прямой AD в плоскостях BAD и MAD. Поскольку плоскость α проходит через AD и перпендикулярна к B, то M - это проекция B на плоскость α. Значит, \(\angle BAM\) является линейным углом двугранного угла BADM.

Ответ: а) \[\frac{a}{2}\]; б) \(\angle BAM\)