ариант 1 Докажите подобие ∆ АВС и Д КММ, если АВ=8 см, ВС=12 см, АС=16 см, КМ=10 см, MN=15 см, NK=20 см. Найдите отношение периметров и площадей этих треугольников. 2. ABCD – трапеция, АВ – меньшее основание, О - точка пересечения диагоналей. а) Докажите, что АО: ОС=ВО: OD. б) Найдите АВ, если OD=15 см, ОВ =9 см, CD = 25 см.

1. Доказательство подобия треугольников и нахождение отношения периметров и площадей.

Дано: ∆ABC, ∆KMN, AB = 8 см, BC = 12 см, AC = 16 см, KM = 10 см, MN = 15 см, NK = 20 см.

Решение:

Для доказательства подобия треугольников ABC и KMN нужно показать, что их стороны пропорциональны.

Проверим отношение сторон:

$$ \frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $$

$$ \frac{BC}{MN} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $$

$$ \frac{AC}{NK} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} $$

Так как отношения всех соответствующих сторон равны, то треугольники ABC и KMN подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия k = 4/5.

Следовательно, отношение периметров равно 4/5.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Следовательно, отношение площадей равно $$(\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$$.

Ответ: Треугольники подобны, отношение периметров = 4/5, отношение площадей = 16/25.

2. Трапеция ABCD.

a) Доказательство, что AO : OC = BO : OD.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Треугольники AOB и COD подобны по двум углам (∠AOB = ∠COD как вертикальные, ∠OAB = ∠OCD как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} $$.

Следовательно, AO : OC = BO : OD.

Ответ: AO : OC = BO : OD доказано.

б) Найти AB, если OD = 15 см, OB = 9 см, CD = 25 см.

Из подобия треугольников AOB и COD следует, что $$ \frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} $$.

Подставим известные значения: $$ \frac{AB}{25} = \frac{9}{15} $$.

$$ AB = \frac{9}{15} \cdot 25 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15 $$.

Следовательно, AB = 15 см.

Ответ: AB = 15 см.