573. Арифметическая прогрессия задана формулой ап = 3n + 2. Найдите сумму первых: а) двадцати её членов; б) пятнадцати её членов.

Решим задачу, используя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$

где $$a_1$$ - первый член прогрессии, $$a_n$$ - n-й член прогрессии, n - количество членов.

1. a) Найдем сумму первых двадцати членов.

   Сначала найдем первый и двадцатый члены прогрессии:

   $$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$$

   $$a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 62$$

   Теперь найдем сумму:

   $$S_{20} = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$$

2. б) Найдем сумму первых пятнадцати членов.

   Сначала найдем первый и пятнадцатый члены прогрессии:

   $$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$$

   $$a_{15} = 3 \cdot 15 + 2 = 47$$

   Теперь найдем сумму:

   $$S_{15} = \frac{5 + 47}{2} \cdot 15 = \frac{52}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$$

Ответ: а) 670; б) 390