Арина и Диана могут нарисовать открытки к празднику за 1 ч 10 минут; Арина и Катя — за 1 ч 24 минуты, а Диана и Катя — за 2 ч 20 минут. За сколько часов Катя сможет нарисовать открытки, если будет рисовать их одна?

Обозначим производительность Арины, Дианы и Кати через \(a\), \(d\) и \(k\). Тогда:

\[a+d=\frac{1}{1\frac{1}{6}}=\frac{6}{7},\qquad a+k=\frac{1}{1\frac{2}{5}}=\frac{5}{7},\qquad d+k=\frac{1}{2\frac{1}{3}}=\frac{3}{7}.\]

Сложим второе и третье равенства и вычтем первое:

\[2k=(a+k)+(d+k)-(a+d)=\frac{5}{7}+\frac{3}{7}-\frac{6}{7}=\frac{2}{7}.\]

\[k=\frac{1}{7}.\]

Значит, Катя одна выполнит всю работу за \(7\) часов.

Ответ: 7 часов.