Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение:

В задаче нужно посчитать количество рукопожатий между 5 людьми, когда каждый пожмёт руку каждому ровно один раз. Это задача на комбинаторику, где нужно найти число сочетаний из 5 элементов по 2 (выбираем 2 человека для одного рукопожатия).

Формула для числа сочетаний из \(n\) по \(k\): \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В нашем случае \(n=5\) (количество людей) и \(k=2\) (количество людей в одном рукопожатии).

1. Подставим значения в формулу: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \)
2. Рассчитаем факториалы: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \), \( 2! = 2 \times 1 = 2 \), \( (5-2)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).
3. Вычислим результат: \( C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \).

Альтернативный способ решения:

Можно просто перечислить все пары рукопожатий:

Аркадий — Борис, Аркадий — Владимир, Аркадий — Григорий, Аркадий — Дмитрий (4 рукопожатия)

Борис — Владимир, Борис — Григорий, Борис — Дмитрий (3 рукопожатия, так как с Аркадием уже пожали)

Владимир — Григорий, Владимир — Дмитрий (2 рукопожатия)

Григорий — Дмитрий (1 рукопожатие)

Сложим все рукопожатия: \( 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \).

Ответ: Всего было сделано 10 рукопожатий.