As. Дано: \( \triangle ABC \) - прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, BC = 8 \text{см}, CH \perp AB, HM \perp BC \). Найти: \( BM \).

Решение:

1. \( \triangle ABC \) - прямоугольный с \( \angle C = 90^{\circ} \). \( \angle B = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. \( AC = \frac{1}{2} AB \).
3. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
4. Так как \( \angle B = 30^{\circ} \), то \( AC = BC \tan(30^{\circ}) \) неверно.
5. В \( \triangle ABC \): \( \tan(B) = \frac{AC}{BC} \). \( \tan(30^{\circ}) = \frac{AC}{8} \). \( AC = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \) см.
6. \( AB = \frac{BC}{\cos(30^{\circ})} = \frac{8}{\sqrt{3}/2} = \frac{16}{\sqrt{3}} \) см.
7. \( CH \perp AB \). \( \triangle CHB \) - прямоугольный. \( \angle B = 30^{\circ} \). \( BH = BC \cos(30^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \) см.
8. \( HM \perp BC \). \( \triangle HMB \) - прямоугольный. \( \angle B = 30^{\circ} \). \( BM = BH \cos(30^{\circ}) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \) см.

Ответ: 6 см.