АС-касательная, а АВ- хорда окружности с центром в точке О, угол ВАО равен 75 градусов. Чему равен угол АОВ?

Решение:

Так как АС — касательная, то радиус ОА перпендикулярен ей. Следовательно, \( \angle CAO = 90^{\circ} \).

Угол ВАО равен 75°, значит, \( \angle CAB = \angle CAO - \angle BAO = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \).

Угол CAB является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Центральный угол АОВ также опирается на дугу AB. Угол, образованный касательной и хордой (\( \angle CAB \)), равен половине дуги, которую он отсекает (дуга AB).

\( \angle CAB = \frac{1}{2} \text{ дуги } AB \)

\( 15^{\circ} = \frac{1}{2} \text{ дуги } AB \)

Дуга AB = \( 15^{\circ} \times 2 = 30^{\circ} \).

Центральный угол АОВ равен градусной мере дуги AB.

\( \angle AOB = 30^{\circ} \).

Ответ: 30°.