Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение заданий варианта 1.
- Решим систему линейных уравнений с двумя переменными:
- $$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 5x + 2y = 0 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения y: $$y = 1 - 2x$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$5x + 2(1 - 2x) = 0$$ $$5x + 2 - 4x = 0$$ $$x = -2$$ Теперь найдем y: $$y = 1 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$$
Ответ: x = -2, y = 5
- $$\begin{cases} x + y = 6 \\ 5x - 2y = 9 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения y: $$y = 6 - x$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$5x - 2(6 - x) = 9$$ $$5x - 12 + 2x = 9$$ $$7x = 21$$ $$x = 3$$ Теперь найдем y: $$y = 6 - 3 = 3$$
Ответ: x = 3, y = 3
- Решим систему уравнений второй степени с двумя переменными:
- $$\begin{cases} 2xy = 5 \\ 2x + y = 6 \end{cases}$$ Выразим из второго уравнения y: $$y = 6 - 2x$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$2x(6 - 2x) = 5$$ $$12x - 4x^2 = 5$$ $$4x^2 - 12x + 5 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64$$ $$x_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$$ $$x_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 6 - 2 \cdot 2.5 = 6 - 5 = 1$$ $$y_2 = 6 - 2 \cdot 0.5 = 6 - 1 = 5$$
Ответ: x₁ = 2.5, y₁ = 1; x₂ = 0.5, y₂ = 5
- $$\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + 2y = 33 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения x: $$x = y + 1$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$(y + 1)^2 + 2y = 33$$ $$y^2 + 2y + 1 + 2y = 33$$ $$y^2 + 4y - 32 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$ $$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = 4 + 1 = 5$$ $$x_2 = -8 + 1 = -7$$
Ответ: x₁ = 5, y₁ = 4; x₂ = -7, y₂ = -8
- $$\begin{cases} x - y = 6 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения x: $$x = y + 6$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$(y + 6)^2 + y^2 = 20$$ $$y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20$$ $$2y^2 + 12y + 16 = 0$$ $$y^2 + 6y + 8 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$ $$y_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$y_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = -2 + 6 = 4$$ $$x_2 = -4 + 6 = 2$$
Ответ: x₁ = 4, y₁ = -2; x₂ = 2, y₂ = -4
- Решим систему уравнений второй степени с двумя переменными:
- $$\begin{cases} x - y = 4 \\ xy + y^2 = 6 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения x: $$x = y + 4$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$(y + 4)y + y^2 = 6$$ $$y^2 + 4y + y^2 = 6$$ $$2y^2 + 4y - 6 = 0$$ $$y^2 + 2y - 3 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = 1 + 4 = 5$$ $$x_2 = -3 + 4 = 1$$
Ответ: x₁ = 5, y₁ = 1; x₂ = 1, y₂ = -3
- $$\begin{cases} x - y = 2 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{2}{3} \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения x: $$x = y + 2$$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$\frac{1}{y + 2} - \frac{1}{y} = -\frac{2}{3}$$ $$\frac{y - (y + 2)}{y(y + 2)} = -\frac{2}{3}$$ $$\frac{-2}{y^2 + 2y} = -\frac{2}{3}$$ $$y^2 + 2y = 3$$ $$y^2 + 2y - 3 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = 1 + 2 = 3$$ $$x_2 = -3 + 2 = -1$$
Ответ: x₁ = 3, y₁ = 1; x₂ = -1, y₂ = -3
- Решим систему уравнений способом сложения:
- $$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$\frac{2}{x} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x = 2$$ Вычтем из первого уравнения второе: $$\frac{2}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$y = 3$$
Ответ: x = 2, y = 3
