A-9 Самостоятельная работа №10 «Уравнения второй степени с двумя переменными и вих системы» Вариант 2. 1. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными; x + 5y = 7 3x+2y=-5 6) x+y=7 5x-7y=11, 2. Решите систему уравнений второй степени с двумя переменными; 2xy = 3 6) y-x=2 6) x+y=3 x-2y = 2 y² + 4x = 13 x²+ y² = 29 3. Решите систему уравнений второй степени с двумя переменными; y-x=2 6)x+y=8 xy + x = 12 1 1 2 + =-

Решение заданий варианта 2.

1. Решим систему линейных уравнений с двумя переменными:
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      x + 5y = 7 \\
      3x + 2y = -5
      \end{cases}$$
      Умножим первое уравнение на -3:
      $$\begin{cases}
      -3x - 15y = -21 \\
      3x + 2y = -5
      \end{cases}$$
      Сложим два уравнения:
      $$-13y = -26$$
      $$y = 2$$
      Подставим y в первое уравнение:
      $$x + 5 \cdot 2 = 7$$
      $$x + 10 = 7$$
      $$x = -3$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x = -3, y = 2

   
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      x + y = 7 \\
      5x - 7y = 11
      \end{cases}$$
      Умножим первое уравнение на 7:
      $$\begin{cases}
      7x + 7y = 49 \\
      5x - 7y = 11
      \end{cases}$$
      Сложим два уравнения:
      $$12x = 60$$
      $$x = 5$$
      Подставим x в первое уравнение:
      $$5 + y = 7$$
      $$y = 2$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x = 5, y = 2

   
   


2. Решим систему уравнений второй степени с двумя переменными:
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      2xy = 3 \\
      x - 2y = 2
      \end{cases}$$
      Выразим из второго уравнения x:
      $$x = 2y + 2$$
      Подставим x в первое уравнение:
      $$2(2y + 2)y = 3$$
      $$4y^2 + 4y = 3$$
      $$4y^2 + 4y - 3 = 0$$
      Найдем дискриминант:
      $$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$
      $$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$
      $$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$$
      Найдем соответствующие значения x:
      $$x_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 1 + 2 = 3$$
      $$x_2 = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) + 2 = -3 + 2 = -1$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x₁ = 3, y₁ = 1/2; x₂ = -1, y₂ = -3/2

   
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      y - x = 2 \\
      y^2 + 4x = 13
      \end{cases}$$
      Выразим из первого уравнения y:
      $$y = x + 2$$
      Подставим y во второе уравнение:
      $$(x + 2)^2 + 4x = 13$$
      $$x^2 + 4x + 4 + 4x = 13$$
      $$x^2 + 8x - 9 = 0$$
      Найдем дискриминант:
      $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$
      $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
      $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$
      Найдем соответствующие значения y:
      $$y_1 = 1 + 2 = 3$$
      $$y_2 = -9 + 2 = -7$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x₁ = 1, y₁ = 3; x₂ = -9, y₂ = -7

   
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      x + y = 3 \\
      x^2 + y^2 = 29
      \end{cases}$$
      Выразим из первого уравнения y:
      $$y = 3 - x$$
      Подставим y во второе уравнение:
      $$x^2 + (3 - x)^2 = 29$$
      $$x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29$$
      $$2x^2 - 6x - 20 = 0$$
      $$x^2 - 3x - 10 = 0$$
      Найдем дискриминант:
      $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$
      $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
      $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$
      Найдем соответствующие значения y:
      $$y_1 = 3 - 5 = -2$$
      $$y_2 = 3 - (-2) = 5$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x₁ = 5, y₁ = -2; x₂ = -2, y₂ = 5

   
   


3. Решим систему уравнений второй степени с двумя переменными:
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      y - x = 2 \\
      xy + x^2 = 12
      \end{cases}$$
      Выразим из первого уравнения y:
      $$y = x + 2$$
      Подставим y во второе уравнение:
      $$x(x + 2) + x^2 = 12$$
      $$x^2 + 2x + x^2 = 12$$
      $$2x^2 + 2x - 12 = 0$$
      $$x^2 + x - 6 = 0$$
      Найдем дискриминант:
      $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$
      $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
      $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$
      Найдем соответствующие значения y:
      $$y_1 = 2 + 2 = 4$$
      $$y_2 = -3 + 2 = -1$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x₁ = 2, y₁ = 4; x₂ = -3, y₂ = -1

   
   
   
   
   1. 
      $$\begin{cases}
      x + y = 8 \\
      \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}
      \end{cases}$$
      Выразим из первого уравнения y:
      $$y = 8 - x$$
      Подставим y во второе уравнение:
      $$\frac{1}{x} + \frac{1}{8 - x} = \frac{2}{3}$$
      $$\frac{8 - x + x}{x(8 - x)} = \frac{2}{3}$$
      $$\frac{8}{8x - x^2} = \frac{2}{3}$$
      $$24 = 16x - 2x^2$$
      $$2x^2 - 16x + 24 = 0$$
      $$x^2 - 8x + 12 = 0$$
      Найдем дискриминант:
      $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$$
      $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$
      $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
      Найдем соответствующие значения y:
      $$y_1 = 8 - 6 = 2$$
      $$y_2 = 8 - 2 = 6$$
      
   
   
   
   

   Ответ: x₁ = 6, y₁ = 2; x₂ = 2, y₂ = 6