A-9 Самостоятельная работа №10 «Уравнения второй степени с двумя переменными и вих системы» Вариант 2. 1. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными; x + 5y = 7 3x+2y=-5 6) x+y=7 5x-7y=11, 2. Решите систему уравнений второй степени с двумя переменными; 2xy = 3 6) y-x=2 6) x+y=3 x-2y = 2 y² + 4x = 13 x²+ y² = 29 3. Решите систему уравнений второй степени с двумя переменными; y-x=2 6)x+y=8 xy + x = 12 1 1 2 + =-

Решение заданий варианта 2.

1. Решим систему линейных уравнений с двумя переменными:
   1. $$\begin{cases} x + 5y = 7 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на -3: $$\begin{cases} -3x - 15y = -21 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$-13y = -26$$ $$y = 2$$ Подставим y в первое уравнение: $$x + 5 \cdot 2 = 7$$ $$x + 10 = 7$$ $$x = -3$$

   Ответ: x = -3, y = 2

   1. $$\begin{cases} x + y = 7 \\ 5x - 7y = 11 \end{cases}$$ Умножим первое уравнение на 7: $$\begin{cases} 7x + 7y = 49 \\ 5x - 7y = 11 \end{cases}$$ Сложим два уравнения: $$12x = 60$$ $$x = 5$$ Подставим x в первое уравнение: $$5 + y = 7$$ $$y = 2$$

   Ответ: x = 5, y = 2

2. Решим систему уравнений второй степени с двумя переменными:
   1. $$\begin{cases} 2xy = 3 \\ x - 2y = 2 \end{cases}$$ Выразим из второго уравнения x: $$x = 2y + 2$$ Подставим x в первое уравнение: $$2(2y + 2)y = 3$$ $$4y^2 + 4y = 3$$ $$4y^2 + 4y - 3 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$ $$y_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$$ Найдем соответствующие значения x: $$x_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 1 + 2 = 3$$ $$x_2 = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) + 2 = -3 + 2 = -1$$

   Ответ: x₁ = 3, y₁ = 1/2; x₂ = -1, y₂ = -3/2

   1. $$\begin{cases} y - x = 2 \\ y^2 + 4x = 13 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения y: $$y = x + 2$$ Подставим y во второе уравнение: $$(x + 2)^2 + 4x = 13$$ $$x^2 + 4x + 4 + 4x = 13$$ $$x^2 + 8x - 9 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$ $$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 1 + 2 = 3$$ $$y_2 = -9 + 2 = -7$$

   Ответ: x₁ = 1, y₁ = 3; x₂ = -9, y₂ = -7

   1. $$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения y: $$y = 3 - x$$ Подставим y во второе уравнение: $$x^2 + (3 - x)^2 = 29$$ $$x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29$$ $$2x^2 - 6x - 20 = 0$$ $$x^2 - 3x - 10 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 3 - 5 = -2$$ $$y_2 = 3 - (-2) = 5$$

   Ответ: x₁ = 5, y₁ = -2; x₂ = -2, y₂ = 5

3. Решим систему уравнений второй степени с двумя переменными:
   1. $$\begin{cases} y - x = 2 \\ xy + x^2 = 12 \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения y: $$y = x + 2$$ Подставим y во второе уравнение: $$x(x + 2) + x^2 = 12$$ $$x^2 + 2x + x^2 = 12$$ $$2x^2 + 2x - 12 = 0$$ $$x^2 + x - 6 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 2 + 2 = 4$$ $$y_2 = -3 + 2 = -1$$

   Ответ: x₁ = 2, y₁ = 4; x₂ = -3, y₂ = -1

   1. $$\begin{cases} x + y = 8 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \end{cases}$$ Выразим из первого уравнения y: $$y = 8 - x$$ Подставим y во второе уравнение: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{8 - x} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{8 - x + x}{x(8 - x)} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{8}{8x - x^2} = \frac{2}{3}$$ $$24 = 16x - 2x^2$$ $$2x^2 - 16x + 24 = 0$$ $$x^2 - 8x + 12 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$$ $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = 8 - 6 = 2$$ $$y_2 = 8 - 2 = 6$$

   Ответ: x₁ = 6, y₁ = 2; x₂ = 2, y₂ = 6