A-11 Самостоятельная работа по теме «Логарифмические неравенства» 2 вариант 1. Решите уравнения: 1) 4log4(4-9x) < 16; ; x²-4 2) logo,5x+10 <-1; 3) log3x+log3(x-1)-1≤log3 2; 4) 4 − x < log2(6 + 2*)

1) $$4^{\log_4(4-9x)} < 16$$

ОДЗ: $$4 - 9x > 0$$

$$4 - 9x < 16$$

$$-9x < 12$$

$$x > -\frac{4}{3}$$

Решим ОДЗ:

$$4 - 9x > 0$$

$$-9x > -4$$

$$x < \frac{4}{9}$$

Объединим решения:

$$-\frac{4}{3} < x < \frac{4}{9}$$

Ответ: $$\left(-\frac{4}{3}; \frac{4}{9}\right)$$

2) $$\log_{0.5} \frac{x^2 - 4}{x + 10} < -1$$

ОДЗ:

$$\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 0$$

$$x + 10
eq 0$$

Решим неравенство:

$$\log_{0.5} \frac{x^2 - 4}{x + 10} < \log_{0.5} 0.5^{-1}$$

$$\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 2$$

$$\frac{x^2 - 4}{x + 10} - 2 > 0$$

$$\frac{x^2 - 4 - 2(x + 10)}{x + 10} > 0$$

$$\frac{x^2 - 2x - 24}{x + 10} > 0$$

$$\frac{(x - 6)(x + 4)}{x + 10} > 0$$

Метод интервалов:

        +                -                 +                 -
------(-10)-----------(-4)---------------(6)---------------> x

$$x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$$

Решим ОДЗ:

$$\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 0$$

$$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 10} > 0$$

        -                +                 -                 +
------(-10)-----------(-2)---------------(2)---------------> x

$$x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$$

Объединим решения:

$$x \in (6; +\infty)$$

Ответ: $$(6; +\infty)$$

3) $$\log_3 x + \log_3 (x-1) - 1 \le \log_3 2$$

ОДЗ:

$$x > 0$$

$$x - 1 > 0$$

$$x > 1$$

Решим неравенство:

$$\log_3 (x(x-1)) \le \log_3 2 + \log_3 3$$

$$\log_3 (x^2 - x) \le \log_3 6$$

$$x^2 - x \le 6$$

$$x^2 - x - 6 \le 0$$

$$(x - 3)(x + 2) \le 0$$

        +           -             +
------(-2)--------(3)---------> x

$$x \in [-2; 3]$$

Учитывая ОДЗ: $$x \in (1; 3]$$

Ответ: $$(1; 3]$$

4) $$4 - x < \log_2(6 + 2^x)$$

Пусть $$f(x) = 4 - x$$, $$g(x) = \log_2(6 + 2^x)$$.

Заметим, что при $$x = 2$$:

$$f(2) = 4 - 2 = 2$$

$$g(2) = \log_2(6 + 2^2) = \log_2(10)$$, и $$f(2) < g(2)$$

При $$x=3$$:

$$f(3) = 4 - 3 = 1$$

$$g(3) = \log_2(6 + 2^3) = \log_2(14)$$, и $$f(3) < g(3)$$

При $$x=1$$:

$$f(1) = 4 - 1 = 3$$

$$g(1) = \log_2(6 + 2^1) = \log_2(8) = 3$$, $$f(1) = g(1)$$

При $$x=0$$:

$$f(0) = 4 - 0 = 4$$

$$g(0) = \log_2(6 + 2^0) = \log_2(7)$$, $$f(0) > g(0)$$

Функция $$f(x)$$ убывает, а функция $$g(x)$$ возрастает, значит, неравенство выполняется при $$x>1$$

Ответ: $$(1; +\infty)$$